algebre-topolgie

salut.
1/
soit H un sous-groupe du cercle unité IU.prouver que H est soit le groupe des recines niemes de 1 ,soit infini et dense dans IU.
2/
montrer de maniere topologique qu'un morphisme continu non constant de (IR,+) dans (IU,X) est surjectif.

1) l'application x--> exp(ix) est un morphisme de groupe surjectif de (R,+) sur (U,x) . On suppose H #{1}

==> f^(-1)(H) sous groupe de R
==> f^(-1)(H)=2a*pi*Z avec a>0 ou dense dans R

Si f^(-1)(H)=2a*pi*Z ==> il exite n entier >0 tel que an=1
==> H= le groupe des racines néme de l'unité
si f^(-1)(H) dense dans R ==> f(f^(-1)(H))=H est dense dans U

2) soit f:R--->U un morphisme continu non constant
==> f(R) sous groupe connexe de U
==> f(R) connexe dense dans U

Si f non surjectif, il existe t€R tq exp(it) n'est pas dans f(R).
Il existe alors un homéomorphisme g : U\{exp(it)}---> R
( on poura utiliser une détermination du log complexe)

==> g(f(R)) est connexe dense dans R
==> g(f(R))=R
f(0)=1 ==> exp(it)#1==> exp(it)#exp(it/2)
==> exp(it/2)=f(x) pour un certain x dans R
==> f(2x)=f(x)²=exp(it) , absurde

bonjour
pour la question 2) voici un mot clef : Théorème du relévement