Arithmétique

Bonjour !

Alors depuis quelques jours je me suis mis à l'arithmétique (niveau TS spé) et j'ai quelques questions.

1) Pourquoi dit-on que: a est congru à b (modulo n) ; et pas: a est égal à b (modulo n). Après tout on dit bien que cos(pi) = - 1 (modulo 2pi). Est ce une convention ou quelque chose de bien rigoureux ?

2) Si a est congru à b (n) et c est congru à d (n) alors:
a +/- c est congru à b +/- d (n)
ac est congru à bd (n)
ka est congru à kb (n)
a^m est congru à n^m (n)

Est ce que ces relations sont toutes des équivalences, sinon lesquelles ne le sont pas ? Notamment l'avant dernière, où je serais tenté de diviser par un entier k (si c'est possible) dans certains exo.

3) Je n'ai pas bien saisi la notation " a est divisible par I ssi E(a/I) = a/I " , dans un exo il y avait une question: "Soit a un entier. A quelle condition a-t-on E(a/3) = 0" ; j'ai mis si a = 0 mais je ne comprend pas vraiment cette notation...

Voilà merci bien !

salam

1)pour le modulo d'abord ( je suis un peu pressé)

congru : même classe

{ ....., -4 , -1 , 2 , 5 , ......} = une classe d'entiers

chacun = 2 + 3k

on dit alors que : -1 (congru à) 5 ( mod 3)

................

cos(pi) = -1 , c'est bien une égalité entre réels

ton ( modoulo2pi ) n'est pas à sa place

on a { .........-pi , pi , 3pi , 5pi , .......} forment une classe

chacun = pi + k.2pi

ils ont tous le même cosinus -1

===> -pi (congru à ) 5pi ( mod 2pi)

...................

je cède la place pour les autres.....


.

je reviens : je note /// : congru

2) Si a /// b ..(n) et ..... c /// d ...(n)

====> (a+c) /// (b+d) ...(n)

====> (a-c) /// (b-d) ...(n)

====> a.c /// b.d ...(n)

====> a^k /// b^k ....(n) pour k € IN

====> k.a /// k.b ....(n) pour k € Z

====> k.a /// k.b ....(|k|.n) pour k € Z*

====> (a/k) /// (b/k) ....( n/|k|) pour k diviseur commun à : a , b , n

3) E(x) = partie entière de x

exp :
x= 5,120356 ===> E(x) = 5
x= entier ===> E(x) = x
x= -2,035677 ===> E(x) = -3

Plus généralement E(x) = le plus grand entier =< x

a divisible par b <===> il existe k € Z / a = bk

E(a/b) = E(k) = k = a/b

ensuite c'est différent

E(a/3) = 0 <==> 0 =< a/3 < 1 <===> 0 =< a < 3.

...................................................................

Youplala! a écrit:

Notamment l'avant dernière, où je serais tenté de diviser par un entier k (si c'est possible) dans certains exo.

rajoute la condition PGCD(k,n)=1 pour pouvoir le faire (conséquence du grand théorème de GAUSS)