Olymp.1964

ABC un triangle de côtés : a , b , c .

Montrer que:

a²(b+c-a) + b²(c+a-b) + c²(a+b-c) =< 3.abc

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bJr....
posons b+c-a=x ; c+a-b=y ;a+b-c=z
alors a=(y+z)/2 b=(x+z)/2 et c=(x+y)/2
donc notre inégalité devient:
(y+z)².x/4+(x+z)².y/4+(x+y)².z/4≤3(x+y)(y+z)(z+x)/8
<=>2[(y+z)².x+(x+z)².y+(x+y)².z]≤3(x+y)(y+z)(z+x)
en développant on trouve que:
2(y²x+z²x+x²y+z²y+x²z+y²z+6xyz)≤3(x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y+2xyz)
<=>6xyz≤x²y+z²y+x²z+zy²+y²x+xz²
<=>0≤[x²y+z²y-2xyz]+[x²z+zy²-2xyz]+[y²x+xz²-2xyz]
<=>0≤(xVy-zVy)²+(xVz-yVz)²+(yVx-zVx)²
ce qui est tjs vrai.....
avec égalité si x=y=z
ou bien encore a=b=c

Il existe une autre solution sans théorème