amusez vous

soit E un espace vectoriel normé complet.et A est un sous-ensemble de l'espace des fonctions continues de E dans IR,tel que :
qlq x £ E,il existe M£IR*+ /qlq f £ A,f(x)=<M
montrer qu'il existe un ouvert B non vide de E tel que :
il existe M£IR*+,qlq (x,f)£B*A,f(x)=<M.
bn chance.

pensez au théorème de Baire.

salam à tous !!!

salam Mr Kalm

Bon Ramadan et j'espere que tu vas bien...

pour l'exercice c'est trés formidable !!

et j'esseyerai de repondre aprés je donne une généralisation sur un espace topologique.

soit E un espace de Banach (de Baire) et soit A un sous espace des fonctions continues f:E---->IR tq:
pr tt x£E ; il existe M>0 / pr tt f£A : f(x) =< M

posons d'abord H_M = g(]-00;M]) avec g=f^[-1].

donc puisque f est continue et ]-00:M] est un fermé de IR donc H_M est une fermé de E.

d'où puisque H_M est fermé de E alors il existe un ouvert non vide B dans E ( on peut prendre par exemple B=int(H_M) ) tel que B C H_M C E
alors sup_{x£B}(f(x)) < +00
ce qui veut dire qu'il existe M£IR*+ tq qlq f£A : sup_{x£B}(f(x)) < M
qui est aussi : il existe M>0 pr tt x£B / qlq f£A : f(x) <M
...

généralisation:

soit X un espace topologique et soit f:X-->IRU{+00;-00} une fonction semi-continue inferieurement alors:
s'il existe une partie P non maigre de X telle que pr tt x£P : f(x) < +00 Alors il existe un ouvert non vide O de X tel que sup_{O} f < +00

NB: dans unespace de Baire toute partie maigre et d'interieur vide...

PS1: vous pouvez demonntrer cette generalisation d'une façon analogue..
PS2: je vois que tu as bien interessé Mr Kalm à la topologie générale c'est vrai quelle est belle mais malheureusement est pas interessée par les membres ....
et merci
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LAHOUCINE

pour ta solution elle est belle mais malheureusement fausse,je te laisse le soin de la trouver toi même.
pour la généralisation je vais la voir après.
pour ce qui concerne la topologie générale.quasiment le nombres de membres qui sont intéressé est presque nul.car nous les marocain en fait les maths seulement pour avoir après un bon salaire comme ingénieur ou...,mais aussi les étudiant évitent de parler de la topologie générale car elle est connu comme une branche très compliqué....mais normalement pour quoi pas faire un topique pour la topologie générale,théorie de la mesure,homologie et cohomologie,..... car on a besoin de ces notions pour mieux voir la topologie métrique et des e.v.n et pour bien comprendre l'intégration et l'analyse en générale.....
-pour l'exercice voici une indication:considérer l'ensemble K_M={x£E/qlq f£A,f(x)=<M}

salut Kalm !!!

merci pour tes jolies parôles... d'abord je veux bien savoir ou est la faute et aprés tu as écris comme indication:
K_M={x£E/qlq f£A ; f(x) =< M }
c'est la même chose que l'ensemble des points que j'ai definie par H_M...

pour la topologie on a pas besoin que f soit bijective pour écrire f^[-1] ...

et merci
____________________________________________
LAHOUCINE

nn c'est pas le même ensemble.car
K_M=intersection(f£A)f^[-1](]-00,M])=intersection(f£A)H_M
je pense que c'est clair maintenant .bn remarque mathema que le problème est achevé si ta demontrer que K_M est d'intérieur vide...
a toi maintenant .

salut Kalm !!!

d'abord en premier temps j'ai fixé un f donnée dans A et j'ai considéré l'ensemble donné par H_M je sais bien ce que tu veux dire (car on a pris deux chemins moi et toi strictement differents) mais tu m'as compris si tu as lis mon NB tu vas comprendre c'est clair que j'ai utilisé la continuité de f sur l'espace topologique...

donc je vais utiliser une autre astuce (mais je considere la premiere correcte à mon avis)

on considere la suite des fermés :

L_n = { x £ E ; n£IN /qlq f£A : f(x) =< n }

et on vas considerer votre ensemble K_M = {x£E / qlq f£A : f(x) =< M} avec M£IR*+
alors il est clair que :
K_M C U_{n>=0} L_n

alors L_n est d'interieur vide ==> K_M est maigre et puisque E est de Baire donc K_M est d'interieur vide alors ....

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LAHOUCINE

mathema a écrit:

salam à tous !!!

...
alors (topologie induite) (et d'apés l'enoncé) pr tt x£B il existe M£IR*+ / pr tt f£A : f(x) =< M

donc ta donné a chaque x un M,mais nn ...

kalm a écrit:

mathema a écrit:

salam à tous !!!

...
alors (topologie induite) (et d'apés l'enoncé) pr tt x£B il existe M£IR*+ / pr tt f£A : f(x) =< M

donc ta donné a chaque x un M,mais nn ...

salam !!

peut etre c'est mal dire de ma part ... et la generalisation montre ça!!

alors revoir ça en haut ..

et merci

PS: c'est justement vrai le titre de sujet ("amusez vous") ça fais longtemps que j'ai pas discutté au cours des maths c'est vraiment joli sujet et merci pr le
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LAHOUCINE

bn la premier c'est pas le cas mais pour la deuxième (K_M)c'est bien la bonne démonstration.
moi aussi j m'amuse,mais pour le titre c'est pas vrai,car je doit écrire "amuse toi" lool.car t le seul qui a essayé!!

kalm a écrit:

bn la premier c'est pas le cas mais pour la deuxième (K_M)c'est bien la bonne démonstration.
moi aussi j m'amuse,mais pour le titre c'est pas vrai,car je doit écrire "amuse toi" lool.car t le seul qui a essayé!!

salam Kalm !!!

peut etre on s'amuse ensemble car si tu as bien remarqué tu vas trouver qu'il y a au plus de 160 personnes ont vu votre sujet ...

et j'espere moi aussi que les administrateurs precisent une catégorie pour la topologie et theorie de la mesure ..... comme tu as dis en haut

à la prochaine fois
et merci
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LAHOUCINE