Topologie de IR

Montrer que IR est complet

definition: Soit K un sous corps de IR, on dit que K est complet si toute suite de Cauchy d'élément de K est convergentes

salut c un cours de sup ou spé ??????????

Normalement la notion est vu de complétude est vu en spé mais la suite de cauchy en sup , pour novice en sup se pas un exercice à faire ^^

stifler a écrit:

Montrer que IR est complet

definition: Soit K un sous corps de IR, on dit que K est complet si toute suite de Cauchy d'élément de K est convergentes

salut à tous !!!

salut stifler !!

votre exo est tres interéssant et plus connue et il y'a bcp des demos pour ce resultat...
et je propose un démo basé sur la densité de Q dans IR alors:
soit (x_n)_n une suite réelle de Cauchy et puisque Q dense dans IR alors il existe une suite des rationnels (r_n)n convergente vers x £ IR et tel que: |x_n - r_n| =< 1/(n+1) =< €/2 . (€>0)
il est clair que la suite (r_n)_n est de Cauchy donc on a:
pr tt €>0 il existe p£IN tq n>=p ===>|r_p - x| =< €/2
alors :
pr tt €>0 il existe p£IN tq n>=p ==> |x_n - x| =< |x-n - r_n| + |r_n - x| =< €
donc toute suite (x_n)n de Cauchy est converge dans IR alors IR est espace metrique complet...

et merci
___________________________________
LAHOUCINE

faut peut-étre lieux rédiger cette solution!
le choix de ton x n'est pas aléatoire!

radouane_BNE a écrit:

faut peut-étre lieux rédiger cette solution!
le choix de ton x n'est pas aléatoire!

slt!
j'ai pas bien compris ce qur tu veux dire mais la deuxieme phrase me laisse de dire que x biensûr n'est pas un réel aléatoire mais c'est la limite de la suite (r_n)n (on prenons que cette limite est unique puisque Q est un espace séparé ) ...
et merci
_______________________________
LAHOUCINE

Bonsoir à tous ,

bonsoir mathema

Ta solution est juste:),J'ai plutôt opté pour un raisonnement qui s'appuie plus sur les suites qu'autre chose le voici:
j'ai montrer que Toute suite de Cauchy est borné ,ensuite que toute suite de Cauchy qui admet une sous suite convergente est convergente
,je conclus par l'utilisation du théorème de Bolzano-Weierstrass

Cordialement Hamza

Question supplémentaire : Montrer que Q n'est pas complet

cauchy=>bornée==>existence de ss suite(bolzano-weirstrass)
on peut mq tt suitee de cauchy admettant vadherence cvg vers cette valeur(définition de la limite avec les epsilon)

Citation :

on peut mq tt suitee de cauchy admettant vadherence cvg vers cette valeur(définition de la limite avec les epsilon)

Peu tu être plus claire stp !

oué,javé pas envie de détailler...mé bon je détaille un peu
valeur adherence==>sous suite phi convegente vers x
/xn-x/<=/xn-x(phi(n))/+/x(phi(n)-x/<=e/2+e/2
je crois kc claire

n'oublie pas phi(n)>=n

stifler a écrit:

Question supplémentaire : Montrer que Q n'est pas complet

salut !!
pour ceci il suffit de prendre un exemple de suite d'éléments de Q qui est de Cauchy et sa limite ne tend pas vers un rationnels ...
je crois que l'exemple est facile à touver ..
à bien tôt
____________________________
LAHOUCINE

merci pour petit le rappelle ,j'ai pas détailler ma solution mais sur le papier j'ai pas oublié n=

pour ta question supplementaire,jsé pas mais j'essaye commem
Q dense ds R=>racine de 2 est limite de rn(rationnel)
rn cvg=>rn de cauchy
d'autre part rn est de cauchy et toute ces ss suite cvg ver rac(2)
Q nn complet(ici si je me rappelel bien A complet si toute suite de cauchy Y est convergent)à confirmer

Citation :

je crois que l'exemple est facile à touver ..

Oui, SIGMA(k=0 jusqu'à' n) 1/k!

On sait que somme(k=0 jusqu'à +inf)1/k!=e

oué

stifler a écrit:

On sait que somme(k=0 jusqu'à +inf)1/k!=e

Oui c'est l'exemple le plus utilisable pour montrer votre question
@+
_________________________
LAHOUCINE

pour Q n'est pas complet il suffit de prendre la série rationel de terme générale 1/n qui converge vers un irrationel qui est ... , pour la définition d'un corps complets tu as dit
definition: Soit K un sous corps de IR, on dit que K est complet si toute suite de Cauchy d'élément de K est convergentes
esqu'il ne faut pas ajouter convergentes vers un élement de K???

tu peut tt simplement dire ,est ce qu'un complet est fermé?....

younssi a écrit:

pour Q n'est pas complet il suffit de prendre la série rationel de terme générale 1/n qui converge vers un irrationel qui est ... , pour la définition d'un corps complets tu as dit
definition: Soit K un sous corps de IR, on dit que K est complet si toute suite de Cauchy d'élément de K est convergentes
esqu'il ne faut pas ajouter convergentes vers un élement de K???

salut younssi !!!

la propositin en rouge est totalement fausse !!!!

en effet la serie de terme generale 1/n ne converge pas c'est une serie harmonique est egale à zêta(1) --->+00

....
et merci
______________________________
LAHOUCINE

oui oui dsl une faute de frappe je voulais dir 1/n!, de plus c'est trés évident que la série de terme génerale 1/n ne converge pas, merci pour la correction, sinon une réponse pour ma question a propos de la définition

salut tout le monde
je pense que l'exemple le plus convenable est de choisir (x)n une suite de valeurs approchés au nombre racine2 i.e: x1=1.4 ;x2=1.41;x3=1.414;x4=..........ainsi de suite; forcément c'est une suite de cauchey dans Q mais n'est pas convergente dans Q car racine2 n'est pas element de Q ce qui implique que Q n'est pas Banach.