urgennnnt

j'arrive pas à résoudre le dernier exercice !aidez moi
http://bkristof.free.fr/exercices/Exercices%20-%20Fonctions%20circulaires.pdf

1 - a)
on sait que :
cos a. sin a = sin 2a / 2
pour :
a= x/ 2^n

2 . cos (x/2^n) . sin (x/2^n) = sin ( x/ 2^(n-1) )

donc :

2^n . cos(x/2^n) . sin(x/2^n). cos (x/ 2(n-1) ) .....cos (x/2 )
= sin x
conclusion :
produit (k=1 -> n ) cos x / 2^n = sin x / 2^n . sin (x/2^n )

b )

lim (x->0) sinx - x = 0 (remplacer x par 0 )

lim(x-> 0 ) (sin x - x) / x = 0/x ( x # 0 )
lim (x -> 0 ) sinx /x - 1 = 0

lim (x->0) sinx /x = 1

c )

lim (n-> +00 ) produit .... = lim(n-> +00) sin.a / (2^n.sin a/2^n)

pour que cette limite soit égale à sin a /a
il suffit que :

lim(n->00) 2^n.sin (a/2^n) = a
ce qui est équivalent à :

lim(n->00) 2^n / a . sin(a/2^n) = 1

on pose x = a/2^n

quand n->00 x -> 0

alors
lim (x->0 ) sin x / x = 1 ce qui est vrai

{}{}=l'infini a écrit:

b )

lim (x->0) sinx - x = 0 (remplacer x par 0 )

lim(x-> 0 ) (sin x - x) / x = 0/x ( x # 0 )
lim (x -> 0 ) sinx /x - 1 = 0

lim (x->0) sinx /x = 1

salam abdel-jalil (si je te rappelle ) !!!

pour a) c'est bien c'est l'idée voulue (indiquée dans l'enoncé)
pr b)
ça ne donne pas une limite au point 0 mais juste au voisinnage de 0 !!!
(vous pouvez utiliser la definition de la limite ça donnera mieux ... )
ou bien puisque le TD est au niveau de MPSI je crois qu'il suffit d'utiliser la notion de la derivabilité ou bien un équivalence vas donner le resultat ....

et merci
_____________________________________
LAHOUCINE

{}{}=l'infini a écrit:

c )

lim (n-> +00 ) produit .... = lim(n-> +00) sin.a / (2^n.sin a/2^n)

pour que cette limite soit égale à sin a /a
il suffit que :

lim(n->00) 2^n.sin (a/2^n) = a
ce qui est équivalent à :

lim(n->00) 2^n / a . sin(a/2^n) = 1

on pose x = a/2^n

quand n->00 x -> 0

alors
lim (x->0 ) sin x / x = 1 ce qui est vrai

pour cela n'est pas un demo effecace en effet tu peux écrire:

lim(n->+00) sin(x)/(2^n sin(x/2^n)) = lim(n->+00) (sin(x)/x) * ((x/2^n)/sin(x/2^n)) = sin(x)/x

car lim(n->+00) (x/2^n)/sin(x/2^n) = lim(y->0) y/sin(y) = 1 ....

c tt
_______________________________
LAHOUCINE

et pour d) facile (juste faire attention si thêta = 0 avant de faire endre n vers +00) !!!!

2) (1 - tan²(x/2^n)) = (cos(x/2^(n-1))/(cos²(x/2^n))

donc prod(k=1->n){1 - tan²(x/2^k)} = [prod(k=1->n){cos(x/2^(k-1))}]/[prod(k=1->n){cos(x/2^k)}]²

= {(cos(x)/cos(x/2^n)) / (sin(x)/[2^n sin(x/2^n]) }

= 2^n tan(x/2^n) / tan(x)

donc de même n-->+00 ===> 2^n tan(x/2^n) / tan(x) --> x/tan(x)....

C.Q.D

PS: j'ai fais des calculs tres vite il fallait les verifiés ...
PS2 : le reste est facile essayer avec il demain je pose ma solution !!! (c'est tard 3:40)
et merci
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LAHOUCINE

juste une remarque pour lim(en 0) sinx/x = 1

au niveau lycée c'est admis néanmoins il y a une approche géométrique :

sur le cercle trigo. ( 1er quart )
(O , OA , OB ) repère orthonormé direct
un point M tel que l'arc AM= x
D la tangente au cercle en A
(OM) coupe D en T

tu remarques :

aire triangle(OAM) < aire secteur (OAM) < aire triangle(OAT)
===> sinx < x < tanx

===> sinx/x < 1 < tanx/x

plus x est petit ; plus les aires se rapprochent

donc les rapports : sinx/x et tanx/x ---------> 1

...................

la série en question porte la mention MPSI , donc ce n'est du niveau lycée

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