délicieux , sont les maths .

Vingts enfants attendent leurs grands pères dans la cour de la maternelle.
Deux enfants quelconques ont un grand-père commun.
Prouver qu'un des grands-pères a au moins 14 petits-enfants dans cette maternelles.

de quel livre tu as tiré cet exo??

je crois qu'on va utiliser la DM par absurde en supposant que tous les grands-pères a au moins 14 petits-enfants dans cette maternelles.

Salut,

Si je comprends bien, on suppose que chaque enfant a deux grands pères qui l'attendent dans la cour de la maternelle (pour éliminer la possibilité que l'un des deux grands pères d'un enfant soit déjà mort)

le livre est : Mega.Maths

Supposons que tous les grands-pères aient moins de 14 petits-enfants.
Montrons que cela n'est pas possible.

Je te laisse les détails.


étape 1
Il existe un élève e1 qui a ses deux grands-pères présents car ...
Soit G1 et G2 les deux grands-père de e1

Ayant un grand-père commun avec e1,tous les autres élèves ont forcément comme grand-père:
- soit G1 et pas G2 appelons les "les bleus'
- soit G2 et pas G1 appelons les "les rouges"
- soit G1 et G2 appelons les "les verts"

Il y a au moins e1 qui est verts
Il y a au moins 6 élèves "bleus" sinon ...
Il y a au moins 6 élèves "rouges" sinon ...


Deuxième étape
Prenons un rouge e3 et un bleu e2: ils ont un grand-père commun qui n'est ni G1, ni G2. Il existe donc un troisième grand-père G3 commun à ce rouge et ce vert.

G3 est le grand-père de tous les rouges car ...

De même G3 est le grand-père de tous bleus car ...


Etape 4
Il reste à placer 7 élèves (soit rouge, soit vert, soit bleu)

Il y a donc au moins 6 verts car ...



Etape 5
Il te reste 2 élèves à placer

[/img]

ma solution :

premièrement :

démontrons qu'il existe au plus trois grands pères :

X est l'ensemble des petits-enfants du grand père X

il existe au moins 2 grands père A et B:

je pose card(A) = n et card (B) =m

donc si x1 a comme grands pères A et B

et x2 a comme grands peres A et C

si on prend quelque soit x un petit enfant : x£ A sinon

x et x1 ont un grand père commun et qui n'est pas A donc x£ B
m^me chose pour x et x2 donc x £ C

donc il existe que trois grands pères A et B et C.

re :

on a trois ensembles :
(AnB) , (AnC) et (BnC) [n c'est l'intersection ]

card(AnB) + card(AnC) = card A = n

on a n < 14

card (BnC) = 20 - n

et : card B = card (BnC) + card (BnA)
et : card C = card (BnC) + card (CnA)



donc

pour X £ {B;C} : card X = 20 - n + card (XnA)

on a n =card A = card (AnB) + card (AnC)

donc il existe X £ {B,C} tel que
card (XnA) >= n/2

Conclusion

il existe X £ {B,C} Card X = 20 - n + n/2 = 20 - n/2

n < 14

donc Card X > 20 - 7 ==> card X >= 14