seri d'exo logique

exo 1:
soit a et b 2 reel
klksoi n£IN* a-1/n<ou= b<ou= a+1/n
comparer a et b

exo 2:
klksoi a,b 2 reels positifs
DM rac(a+1)-rac(a)<ou= rac(b+1)-rac(b) <==> b <ou= a

exo 3:
1°/ soit I=]0,1/2[U]1/2,1[
klksoit (x,y) £ I² DM x+y-2xy £ I

2°/ x£ IR et y£ IR tel que /x/<ou=1/2 et /y/<ou=1/2
DM /4x²y-x-y/<ou= 17/16

allez a vous de reflichir....

le premier:
j sais pas s'il s'agit de (a-1)/n≤b≤(a+1)/n
ou bien a-(1)/n≤ b≤ a+(1)/n
le deuxième:
si a<b
V(a+1)-V(a)≤V(b+1)-V(b)
<=>V(a+1)-V(b+1)≤V(a)-V(b)
<=>(V(a+1)-V(b+1))²≥(Va-Vb)²
<=>a+1+b+1-2V[a+1)(b+1)≥a+b-2V(ab)
<=>2-2V[a+1)(b+1)≥-2V(ab)
<=>1+V(ab)≥V[a+1)(b+1)
<=>1+ab+2V(ab)≥a+b+ab+1
<=>2V(ab)≥a+b
<=>-(Va-Vb)²≥0
---->contradiction ...ce qui nous conduit vers b≤a
----------------------------------------------------------------------
le troisième:
x£I veut dire 0<x<1 et x≠1/2
y£I veut dire 0<y<1 et y≠1/2
x+y-2xy £ I veut dire 0<2xy-x-y<1 et 2xy-x-y≠1/2
x<1 et 0<y alors xy<x
y<1 et 0<x alors xy<y
d'où 0<2xy-x-y (1)
-----------------------------------------------
on a : x<1 et -y<0
alors (x-y)<1 d'où (x-y)²<1
<=> (x-y)²<1+4x²y²
<=>x²+y²-2xy<1+4x²y²
<=>x²+y²+2xy<1+4xy+4x²y²
<=>(x+y)²<(1+2xy)²
<=>x+y<1+2xy
<=>x+y-2xy<1 (2)
démontrons maintenant que x+y-2xy≠1/2
supposons que x+y-2xy=1/2
<=> 2x+2y-4xy=1
<=>2x+2y=1+4xy
<=>4x²+4y²+8xy=1+16x²y²+8xy
<=>4x²+4y²-1-16x²y²=0
<=>(4x²-1)(1-4y²)=0
alors x=1/4 ou y²=1//4
alors x=1/2 ou y=1/2 et on a x≠1/2 et y≠1/2
---->contradiction...
donc x+y-2xy≠1/2 (3)
----------------------------------------------------------
de (1) ,(2) et (3) on a : x+y-2xy £ I
----------------------------------------------------------
le quatrième:
c'est un classique il suffit de considérer la fonction
f(y)=(4x²-1)y-x

pr le 2 on peut aussi le traiter en utilisant al mourafiq
et on va commencer notre raisonnement par b=<a

majdouline a écrit:

on a : x<1 et -y<0
alors (x-y)<1 d'où (x-y)²<1<=> (x-y)²<1+4x²y²
<=>x²+y²-2xy<1+4x²y²
<=>x²+y²+2xy<1+4xy+4x²y²
<=>(x+y)²<(1+2xy)²
<=>x+y<1+2xy
<=>x+y-2xy<1 (2)
démontrons maintenant que x+y-2xy≠1/2
supposons que x+y-2xy=1/2
<=> 2x+2y-4xy=1
<=>2x+2y=1+4xy
<=>4x²+4y²+8xy=1+16x²y²+8xy
<=>4x²+4y²-1-16x²y²=0
<=>(4x²-1)(1-4y²)=0
alors x=1/4 ou y²=1//4
alors x=1/2 ou y=1/2 et on a x≠1/2 et y≠1/2
---->contradiction...
donc x+y-2xy≠1/2 (3)
----------------------------------------------------------
de (1) ,(2) et (3) on a : x+y-2xy £ I
----------------------------------------------------------
le quatrième:
c'est un classique il suffit de considérer la fonction
f(y)=(4x²-1)y-x

Est ce que t'es sure de cela?

saluut tt le monde saluut majdoline pour le 1ier exo il s'agit de a-(1)/n≤ b≤ a+(1)/n

soukki a écrit:

majdouline a écrit:

on a : x<1 et -y<0
alors (x-y)<1 d'où (x-y)²<1<=> (x-y)²<1+4x²y²
<=>x²+y²-2xy<1+4x²y²
<=>x²+y²+2xy<1+4xy+4x²y²
<=>(x+y)²<(1+2xy)²
<=>x+y<1+2xy
<=>x+y-2xy<1 (2)
démontrons maintenant que x+y-2xy≠1/2
supposons que x+y-2xy=1/2
<=> 2x+2y-4xy=1
<=>2x+2y=1+4xy
<=>4x²+4y²+8xy=1+16x²y²+8xy
<=>4x²+4y²-1-16x²y²=0
<=>(4x²-1)(1-4y²)=0
alors x=1/4 ou y²=1//4
alors x=1/2 ou y=1/2 et on a x≠1/2 et y≠1/2
---->contradiction...
donc x+y-2xy≠1/2 (3)
----------------------------------------------------------
de (1) ,(2) et (3) on a : x+y-2xy £ I
----------------------------------------------------------
le quatrième:
c'est un classique il suffit de considérer la fonction
f(y)=(4x²-1)y-x

Est ce que t'es sure de cela?

saluut essaye de lire la solution attentivement et tu va voir que c correct

pour le 1er exo voici une methode

on a
a-1/n≤b et b≤a+1/n
-1/n≤b-a et b-a≤1/n
b-a+1/n≤1/n-b+a
Alors b≤a

mais si on a juste comme conditions

x<1 et -y<0

je peux donc choisir x=-5 et y=1

x-y=-6<1 (-6)^2>1

Non???

ahh dacc mnt c bcp mieux