Question

Svp quand on nous demande de démontrer cette égalité:
xy>1 ,x>0 et y>0 : Arctanx + Arctany = pi + Arctan(x+y)/(1-xy)

doit-on prouver que l Arctanx + Arctany l < pi/2 ?
ou bien on travaille normalement ?(tan(......)=....)

C juste une question de rédaction et merci !

Ps : si c possible donnez moi la réponse correcte de cet exo

tu pose a=Arctan(x) et b=Arctan(y),et c= Arctan(x+y)/(1-xy),ensuite on calcule tan(a+b) et tan(c) ca donne tan(a+b)=tan(c),tu peux apres étudier 2 cas: si x>0 et y>0 ou x<0 et y<0 avec des encadrement tu trouve le résultat.
PS: de meme facon on trouve: Arctanx + Arctany = Arctan(x+y)/(1-xy) pour xy<1.

merci pour ta réponse
mé toi ta calculé tan(a+b) sans démontrer que -pi/2 < a+b< pi/2
??

amjad92b a écrit:

Svp quand on nous demande de démontrer cette égalité:
xy>1 ,x>0 et y>0 : Arctanx + Arctany = pi + Arctan(x+y)/(1-xy) ...

BSR amjad92b !!

Je te propose une autre méthode basée sur une étude de fonction ....
Tu fixes x, x>0 puis tu étudies les variations de la fonction suivante :

g : y ----> g(y)= ARCTAN(y)+ARCTAN(x)- ARCTAN{(x+y)/(1-x.y)}
définie sur Dg=]1/x ; +oo[

A toi de jouer !!
Je te rappelle la dérivée suivante :{ARCTAN(u)}' = u'/(1+u^2)

LHASSANE

oui Mr ODL
je pense ke je v trouvé f'x= 0 ==> fx=a a£IR
mé vu ke ns avons pa étudié la dérivée de la fonction Atan je v pa utiliser cette méthode ^^

PS: est-ce que la réponse de Perelman est juste meme s'il n'a prouvé que l Arctanx + Arctany l < pi/2

et merci

pourquoi on démontre que -pi/2<a+b<pi/2?
pour tt x£IR tan(arctan(x))=x
voilà en détail ma méthode:
tan(a+b)=tan(c) <==> a+b=c+kpi/ k£Z
et apres tu encadre (a+b)-c en utilisant les données(xy>1.....)
tu trouve alpha< kpi<beta et tu trouves les k.......tu vas trouver tjr que k=1.

BSR Perelman !!

En fait ce qui choque amjad92b c'est la chose suivante :
Ona a= ARCTAN(x) et b=ARCTAN(y) avec x, y>0 et xy >1

Donc pour amjad92b :
0<a<Pi/2 et 0<b<Pi/2 d'ou 0<a+b<Pi
par conséquent il se peut que a+b prenne la valeur Pi/2 pour laquelle TAN(a+b) n'a pas de sens !!!!!


Mais si a+b=Pi/2 alors b=Pi/2 -a
donc TAN(b)=COTAN(a) c'est à dire TAN(b)=1/TAN(a)
d'ou y=1/x et de là x.y=1 ce qui ne peut être réalisé !!!!

Par conséquent a+b ne prend JAMAIS la valeur Pi/2 .....
Donc on peut continuer ton raisonnement !!!

LHASSANE

dsl khouya hamza mé jé pa bien cmp
pck tan(a+b) kandiroha ila kan -pi/2+kpi<a+b<pi/2+kpi le Df
awla je me trompe?

ah oui c ça Mr ODL
je dois donc démontrer que pour tt x>0 et y>0 a+b=/= pi/2
ensuite continuer le raisonnement !

Merci ^^

oui c ca^^
merci pour la remarque Mr.Oeil_de_Lynx.