colle

soit A une matrice de M_(C) et Soit S l'ensemble des matrices qui commutent avec A.supposons que pour toute matrice B de S on a |det(A+B)|>=|det(B+I)|.

montrer que A-I est nilpotente.

soit u une valeur propre de A-I
donc det(A-(1+u)I)=0
or -(1+u)I commute avec A , en remplacant B par -(1+u)I on obtient ldet(-uI)l=0 d'ou u=0 , toute les valeurs propres de A-I sont nulles ,la matrice est donc nilpotente

avec cette belle solution de FERMAT,on aura trois solutions différentes:

http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=5&identifiant=4b0448db5915cbea69d29bf7f223bf87

FERMAT a écrit:

soit u une valeur propre de A-I
donc det(A-(1+u)I)=0
or -(1+u)I commute avec A , en remplacant B par -(1+u)I on obtient ldet(-uI)l=0 d'ou u=0 , toute les valeurs propres de A-I sont nulles ,la matrice est donc nilpotente

BJR à Toutes et Tous !!
Très Belle Solution FERMAT !!
En fait ta Soluce Astucieuse suggère d' AFFAIBLIR les hypothèses imposées par l'énoncé de khadija-daria de la manière suivante :

khadija-daria a écrit:

Soit A une matrice de M(C) .
Supposons que pour toute matrice SCALAIRE B , on a |det(A+B)|>=|det(B+I)|
Montrer que A-I est nilpotente.

Portez-Vous Bien !!

LHASSANE

oui, ça permet d'affaiblir l'énoncé mais ça a le désaventage d'introduire implicitement une indication. ça diminue de la difficulté de l'exercice.
C'est juste un remarque que je lance.