aidez_moi svp (oral X/2003)

salut tout le monde,je viens de découvrir ce site,et je suis en classes prépas (lycée parc de lyon).
j'ai une séries d'exercices à résoudre de l'algébre,merci bien de m'aider à résoudre cet exercice:

ayant donné deux matrices réelles A et B d'ordre n.
Supposons l'existence des réels c_{i} pour i variant de 1 à n+1 tels que A+c_{i}*B est nilpotente pour tout i.
Montrer que A et B sont nilpotente.

soyez la bienvenue avec nous dans le forum,mon ami intime est aussi du parc et m'a dit raconté bcp de choses sur les massacres que vous subissez lors de la résolution des séries...j'essaies sérieusement de penser à ton exo qui me semble assez difficile! mais on verra....!!

enfin je l'ai eu:

lemme caractérisant les matrices nilpotentes (à connaître):
si P est une matrice de M_n(IK) et l'on a tr(P^{k})=0 pour k variant de 1 jusqu'à n,alors P est nilpotente.

Démonstration:
facil à démontrer,on travaille dans le corps M_n(C),d'où P est trigonalisable,et montre le lemme par absurde en utulisant la matrice de hadamard,écrire soigneuseument la démo est à toi maintenant hilbert_1988.

Application de lemme:

on a pour k variant de 1 jusqu'à n,tr((A+xB)^{k}) est une fonction polynomiale dont le degrés ne dépasse pas n,or elle s'annulle (n+1) fois,donc nulle sur IR.

pour x=0,on obtient tr(A^{k})=0 pour k de 1 à n,d'où A est nilpotente.
sachant que x->tr(xP) pour ue matrice P est continue (sais-tu pourquoi ça est vraie),alors en factorisant par x en faisant tendre x à l'infinie,on obtient de même que tr(B^{k})=0 pour k variant de 1 jusqu'à n,d'où B est nilpotente.

CQFD.

super cool,merci bien pour ta réponse! c'est presque la même idée qu'on a développée en classe! je savais pas que les marocaine sont aussi forts en maths! félicitations!

je vous passe trois exercices défis qu'on avaient en classe ,ils sont parmi les favoris de mon prof et il les pose chaque année à ses élèves.

1) (oral ENS)
prouver que le polynôme P(x,y) = 4 + x^2y^4 + x^4y^2 -3*x^2y^2
ne peut pas s'écrire sous forme de polynômes élevées au carré.

2) (Oral centrale)
Existe-t-il une fonction f:N--->N telle que f(f(n-1)) = f(n+1) -f(n) pour n>=2?

3) (oral ENS/X)
soit un entier n>1.Trouver toutes les fonctions n-fois dérivables vérifiant f(x)*f'(x)*....*f^{n}(x)=0. f^{k} c'est la dérivée k-ième de f.

Bon courage à tous! celui qui parvient à résoudre le 3) est un normalien car mêmes les normaliens de l'ENS de l'année dernière n'ont pas parvenu à le résoudre.

merci! et merci pour cet ensemble,ça donne la vie au site,on espère bien avoir autres lyonnais de parc dans le site!

Bonjour,

Voici une deuxième solution à ton exercice initial
http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=6&identifiant=1fb46318a3aa2ffd44662bde19d1278e

Concernant la question trois je crois que j'ai une solution, Mais je suppose f C^n, je la posterai le soir. à bientôt

hilbert_1988 a écrit:

2) (Oral centrale)
Existe-t-il une fonction f:N--->N telle que f(f(n-1)) = f(n+1) -f(n) pour n>=2?

soit f une solution eventuelle de l'equation.

pr tt n>=2 on a f(n+1)-f(n)=f(f(n-1))>=0 donc f est croissante.

supposons qu'il existe un entier m>=2 tel que f(m)=0

donc pr tt n=<m f(n)=0 ainsi f(m-1)=0 et f(0)=0

donc 0=f(f(m-1))=f(m+1)-f(m)=f(m+1)

une recurrence immediate permet de montrer que f=0

reciproquement l application nulle verifie l equation.

maintenant supposons que : quelquesoit n>=2 f(n)>0

donc f(n+1)-f(n)=f(f(n-1))>0 donc f est strictement croissante.

on a f(n+1)=f(n)+f(f(n-1))>=2 donc pr tt n>=3 f(n)>=2

et on a f(n+1)-f(f(n-1))=f(n)>0

donc f(n+1)>f(f(n-1)) ==> f(n-1)<n+1 donc pr tt n>=1 f(n)<n+2

en particulier f(1)<3 donc f(1)€{1,2}

puisque f(1)>f(0) on a necessairement f(1)=f(0)+1=2

et : 2=f(1)<f(2)<4 donc f(2)=3

et par recurrence on a f(n)=n+1 pr tt n€N

f ne verifie pas l'equation ! donc l'application nulle est l'unique solution.

jolie solution!

merci Redouane

en fait j'ai autre solution,mais je trouve que la tienne est plus élégante,je sais pas si je poste la mienne ou non!

Biensur que tu vas la poster , 2 est plus grand qu 1

ok avec plaisir!



de f(n+1)-f(n)=f(f(n-1))>= 1,on déduit que f(n) est strictement croissante pour n>= 2.

ainsi on a f(n)>=f(n-1)+1 et f(n-1)>=f(n-2)+1, ..., f(3)>=f(2)+1, et f(2)>=1,ce qui implique que f(n)>= n-1 pour n>=2,on a aussi ceci est vrai pour n=1 (f(1)>=0)

de f(n+1)=f(n)+f(f(n-1),on déduit que f(n-1)=<n,d'où f(n)=<n+1 pour tout n de IN.

Ainsi n+2>=f(n+1)=f(n)+f(f(n-1))>=(n-1)+f(n-1)-1>= (n-1)+n-2,d'où n+2 > 2n-3, absurde pour n>5.

et évidemment la fonction nulle est solution,done!

j aime ton passage à f(n)>n

merci tout le monde ça me fait vraiment plaisir de vous faire connaissance!

1) (oral ENS)
prouver que le polynôme P(x,y) = 4 + x^2y^4 + x^4y^2 -3*x^2y^2
ne peut pas s'écrire sous forme de polynômes élevées au carré.

c'est evident si par absurde on suppose que P(x,y) = Q²(x,y)
en particulier Q²(x)=P(x,x)=2x^6-3x^4+4=P(x) donc P admet au moins une racine z d'ordre >=2 dans C ,z est donc une racine de P' aussi, puisque P'=12x^3(x-1)(x+1) alors z est 0, 1 ou -1 ce qui est impossible car P(0)#0, P(1)# 0 et P(-1)#0......

mais c'est pas ça ce qui est demandé,la question est de prouver que le polynôme ne peut s'écrire comme somme de carré de polynômes et non pas la carré d'un seul polynôme!

mais l'ennoncé est
1) (oral ENS)
prouver que le polynôme P(x,y) = 4 + x^2y^4 + x^4y^2 -3*x^2y^2
ne peut pas s'écrire sous forme de polynômes élevées au carré.
donc...

donc quoi,tu peux trouver un polynome tel que il n'existe pas un polynôme Q tel que P=Q² pourtant tu peux trouver R et Z deux polyn^mes tels que P=R²+Z²,donc c'est pas la même chose.

mais l'ennoncre parle pas de somme

ok radouane_BNE, j'ai pu prouver que P(x,y) ne peut pas etre la somme des carrés de polynomes.
soit s(X,Y,Z) =4Z^6 +X^2Y^4 + X^4Y^2 -3*X^2Y^2Z^2
cette forme est toujours positive ou nulle puisque X^2Y^2Z^2 est la moyenne geometrique de Z^6, X^2Y^4 et X^4Y^2.
si s était une somme de formes cubiques si (d°si =<3) (i varie de 1 à k)
s = sigma (si)² indice i varie dans {1......k}
alors aucun des si ne pourrait contenir X^3 ou Y^3 (s ne contient pas X^6 ou Y^6)
alors aucun des si ne pourrait contenir X^2Z ou Y^2Z (s ne contient pas X^4Z^2 ou Y^4Z^2)
et finalement aucun des si ne pourrait contenir XZ^2 ou YZ^2 (s ne contient pas X^2Z^4 ou Y^2Z^4)
Chaque si sera donc combinaison lineaire de XY^2 , YX^2 , XYZ et Z^3 et dans sigma (si)² , X^2Y^2Z^2 aurait nécessairement un coefficient positif ou nul
ce qui est imopssible car le coef de X^2Y^2Z^2 dans s est -3.
d'ou la forme s(X,X,Z) ne s'ecrit jamais comme la somme des carrés de polynomes en particulier P(X,Y) = s(X,Y,1)

on peut prouver de meme que la forme
q(X,Y,Z,W) =W^4+X^2Y^2+Y^2Z^2+Z^2X^2-4XYWZ
ne peut pas etre la somme de carrés de polynomes...

pour le 3eme exo je l'ai résolu mais c'est tellement long que j'ai la flemme de l'ecrire. mais je vais essayer de le rédiger en pdf.