ef exo d'orale

trouvez ttes les applications continues de R vers R tel que :

f(x+y)=f(x+f(y)) pr tt x et y de R.

j'espere voir de l'ellegance

slt memath !!
je propose ma solution:
pour x=0 ==> f(y)=f(f(y)).
considérons une suite (u_n ) tel que u_0=x et u_(n+1)=f(u_n) donc l'ef devient: u_(n+2)=u_(n+1),en résolvant l'équation x²=x ca donne : u_n=a*(1)^n / a£IR. pour n=1 : f(x)=a=x...

donc finalement f(x)=x.

Perelman a écrit:

slt memath !!
je propose ma solution:
pour x=0 ==> f(y)=f(f(y)).
considérons une suite (u_n ) tel que u_0=x et u_(n+1)=f(u_n) donc l'ef devient: u_(n+2)=u_(n+1),en résolvant l'équation x²=x ca donne : u_n=a*(1)^n / a£IR. pour n=1 : f(x)=a=x...

donc finalement f(x)=x.

je crois que c'est incorrect car tu as montré que si f(f(x))=f(x) alors f=id

quelquesoit f de R vers R (t as pas utilisé la continuité)

ok j'attend!!
pour la continuité voilà pourquoi il ne faut l'utiliser:
si on a pas la continuité on peut seulement trouver:
f(x)=x pour tt x£E / E est un ensemble defini par: x£E<==>f(x)#0 et f(x)=0 pour tt x£IR-{E} cette fonction defenie par morceau est aussi une solution mais il ne réspecte pas la continuité.....

slt Perelman !
donc tu deffend mon point de vue , puisque t as pas utilisé la continuité ,cela signifie que f(f(x))=f(x) ==> f=id
et t as donné un contre exemple.
en plus de ca les fonctions constantes verifient aussi l equation

j'ai trouvé l'indentité et en utilisant la continuité la seule solution possible est f(x)=x pour tt x£IR f s'annule une seule foisc'est cela qui fait la différence.

PS: les fonctions constantes sont aussi des solutions

C'est classique,
ces fonctions sont celles qui vérifient : f(x)=Ax avec A £ IR
pour la preuve c'est simple;

Sur IN
x=0 ; y=0 ==> f(x+0)=f(0)+f(0) ==> f(0)=0
x=2 ; y=1 ==> f(2+1)=f(2)+f(1) ==> f(3)=3f(1)
Donc pat réccurence, MQ qqsoit n £ IN f(n)=nf(1)

Sur Z
m=-n/ n £ IN
f(n-n)= f(n)+f(-n)
f(0)= f(-n)+f(n)
donc f(-n)=-f'(n)
f(-n)=-nf(1)
Donc f(-n)=-nf(1) qqsoit n £ IN
de M £ Z f(m)=mf(1)

Sur Q
soit r=p/q tq p £ Z et q £ IN*
on a f(x1+........+xn)=f(x1)+.........+f(xn)
f(p/q+......+p/q)= f(p/q)+.....+f(p/q)=qf(p/q)
de f(p)=qf(p/q)
f(p/q)=f(p)/q
d'où f(p/q)=p/qf(1)
qqsoit r £ Q : f(r)=rf(1)

sur IR
il existe (rn) une suite d'éléments de Q tq lim rn =x
f(x)=f(lim rn)=lim f(rn)= lim rnf(1) = xf(1)
qqsoit x £ IR ; f(x)=xf(1)

d'où le résultat

et inversement :
si f(x)=Ax / x£ IR
alors f(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay=f(x)+f(y) et f est continue d'où le résultat !

mehdibouayad20 a écrit:

C'est classique,
ces fonctions sont celles qui vérifient : f(x)=Ax avec A £ IR
pour la preuve c'est simple;

Sur IN
x=0 ; y=0 ==> f(x+0)=f(0)+f(0) ==> f(0)=0
x=2 ; y=1 ==> f(2+1)=f(2)+f(1) ==> f(3)=3f(1)
Donc pat réccurence, MQ qqsoit n £ IN f(n)=nf(1)

Sur Z
m=-n/ n £ IN
f(n-n)= f(n)+f(-n)
f(0)= f(-n)+f(n)
donc f(-n)=-f'(n)
f(-n)=-nf(1)
Donc f(-n)=-nf(1) qqsoit n £ IN
de M £ Z f(m)=mf(1)

Sur Q
soit r=p/q tq p £ Z et q £ IN*
on a f(x1+........+xn)=f(x1)+.........+f(xn)
f(p/q+......+p/q)= f(p/q)+.....+f(p/q)=qf(p/q)
de f(p)=qf(p/q)
f(p/q)=f(p)/q
d'où f(p/q)=p/qf(1)
qqsoit r £ Q : f(r)=rf(1)

sur IR
il existe (rn) une suite d'éléments de Q tq lim rn =x
f(x)=f(lim rn)=lim f(rn)= lim rnf(1) = xf(1)
qqsoit x £ IR ; f(x)=xf(1)

d'où le résultat

et inversement :
si f(x)=Ax / x£ IR
alors f(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay=f(x)+f(y) et f est continue d'où le résultat !

Bonsoir , je te suggere de relire soigneusement l exercice , ce n'est pas l equation de cauchy ^^

Perelman a écrit:

j'ai trouvé l'indentité et en utilisant la continuité la seule solution possible est f(x)=x pour tt x£IR f s'annule une seule foisc'est cela qui fait la différence.

PS: les fonctions constantes sont aussi des solutions

alors des réactions Mr.memath?

C'est sur qu'il s'est trompé mais cette méthode peut etre appliqué sur cette exo après le passage de N, Z et Q on utilise la contunuité à R.
Méthode de pereleman est injuste dans la definition des conditions initiales de la suite qui mene à f(f(x))=f(x) => f(x)=x mais cela n'est pas tjrs justes (fonctions constantes), la preuve on fait abstraction de es dernieres dans la résolution. sauf erreur !

je ne sais pas pq vous insister sur cela!!

tu peux dire les conditions justes pour la suite....??

Oh mon dieu .... Quelle erreur !!!
Bon pour la méthode ça reste valable même pour ce cas, avec qq modifications !

u_0=x, et u_(n+1)=f(u_n) avec ça t'as deja affirmé que
f(x)=x!!!!!! donc tu es parti par un resultat pour avoir le resultat donc aucune preuve n'est faite la!!!sauf erreur

comment ca???!!!!!,je me suis dit que vous conaissez bien les suites...dans ces situations là...
une suite définie par f(u_n)=u_(n+1) pour tt n>0 avec u_0=x.....

ces leçons je les ai fais deja sur les documents de cours des olympiades mais seulement la cette suite est très mal posée qu'elle ne serve pas à prouver mais à donner une solution sans preuve, relis ce que j'ai éris juste avant bien, sinonje pense pas ue de cette méthode va se resoudre cet exo, sauf erreur!

nn je pense pas,moi dans la solution j'ai pas écrit tt la démarche,les étapes principales seulement...la méthode est efficace pour tt les efs de ce genre!,il faut juste jouer avec les itérées..

f(u_n)=u_(n+1) cad f(x)=x, sans preuve celle la!!!! tu poses u-(n+1)=f(u_n) c'est bien mas si tu poses u_0=x, alors on deduit f(x)=x sans preuve ,cela est deduit de ce que tu asposé! j'espere que tu me comprends!!
sinon je peux pas t'expliquer mieux que ça!

je t'ai pas compris et tu m'as pas compris!!
je donne la suite d'une autre manière et j'éspère qu'on sortent avec un résultat!
la suite des itérées est définie comme suit: (f^{n})_{n>=0} où pour tt x£IR : f^{0}(x)=x , f^{1}(x)=f(x) et pour tt n>=1 on a:
f^{n+1}(x)=f(f^{n}(x)), la suite que j'ai considéré est (x_n) ou x_n=f^{n}(x) d'une autre facon x_(n+1)=f(x_n) avec x_0=x.

slt ,perelman ;

pour fermer cette disscution , est ce que ceci est vrai :

f(f(x))=f(x) ==> f(x)=x qlqs x

si tu repond par non ta solution est donc fausse puisque t as montré que cela est juste , si tu repond par oui ta reponse est encore fausse.

cet un joli exo pas trés difficile mais pas assez simple que tu crois Perelman.

PS : dans ma solution j'ai utilisé le TVI ...

Bonne chance à toi aussi Perelman , si vous avez fait la continuité en classe , un bon TSM pourra l resoudre

de retour après deux jours d'absence!

posons g(x)=f(x)-x.
remplaçons x par x-y,l'équation fonctionnelle devient f(x)=f(x+g(y)).

on va discuter deux cas:

**si g est égale à une certaine constante a,alors en remplaçons dans l'équation on obtient a=0.alors f(x)=x

**sinon,et puisque g est continue,alors il existe nécessairement un intervalle [a,b] inclus dans g(IR) avec b>a.
et puisque f(x)=f(x+g(y)),alors f est constante sur [a+x,x+b],ceci étant vraie pour tout x de IR,alors f est constante sur IR,alors f(x)=Cste.

memath a écrit:

slt ,perelman ;

pour fermer cette disscution , est ce que ceci est vrai :

f(f(x))=f(x) ==> f(x)=x qlqs x

si tu repond par non ta solution est donc fausse puisque t as montré que cela est juste , si tu repond par oui ta reponse est encore fausse.

cet un joli exo pas trés difficile mais pas assez simple que tu crois Perelman.

PS : dans ma solution j'ai utilisé le TVI ...

Bonne chance à toi aussi Perelman , si vous avez fait la continuité en classe , un bon TSM pourra l resoudre

pas besoin de t'enerver cher mehdi !!!! le voila un petit bon contre exemple pour notre ami f(x)=1-x si x est rationnel et f(x)=x si x irrationel on a f(f(x))=f(x) (car q est dense dans IR) mais f(x)#x !! (mais je pense que le resultat que perleman a utilisé est vrai pour une fonction continue )

radouane_BNE a écrit:

de retour après deux jours d'absence!

posons g(x)=f(x)-x.
remplaçons x par x-y,l'équation fonctionnelle devient f(x)=f(x+g(y)).

on va discuter deux cas:

**si g est égale à une certaine constante a,alors en remplaçons dans l'équation on obtient a=0.alors f(x)=x

**sinon,et puisque g est continue,alors il existe nécessairement un intervalle [a,b] inclus dans g(IR) avec b>a.
et puisque f(x)=f(x+g(y)),alors f est constante sur [a+x,x+b],ceci étant vraie pour tout x de IR,alors f est constante sur IR,alors f(x)=Cste.

Bien vu , c'est exactement ma solution aussi

_Bigbobcarter_ a écrit:

memath a écrit:

slt ,perelman ;

pour fermer cette disscution , est ce que ceci est vrai :

f(f(x))=f(x) ==> f(x)=x qlqs x

si tu repond par non ta solution est donc fausse puisque t as montré que cela est juste , si tu repond par oui ta reponse est encore fausse.

cet un joli exo pas trés difficile mais pas assez simple que tu crois Perelman.

PS : dans ma solution j'ai utilisé le TVI ...

Bonne chance à toi aussi Perelman , si vous avez fait la continuité en classe , un bon TSM pourra l resoudre

pas besoin de t'enerver cher mehdi !!!! le voila un petit bon contre exemple pour notre ami f(x)=1-x si x est rationnel et f(x)=x si x irrationel on a f(f(x))=f(x) (car q est dense dans IR) mais f(x)#x !! (mais je pense que le resultat que perleman a utilisé est vrai pour une fonction continue )

et on a dans l'énoncé f est continue nn?
bon pour conclure si vous n'acceptiez pas ma méthode je réspecte votre choix.
PS: si quelqu'un résout un exo avec une certaine méthode,il faut au moins bien lire les idées des autres....
Amicalement.
A++.

_Bigbobcarter_ a écrit:

memath a écrit:

slt ,perelman ;

pour fermer cette disscution , est ce que ceci est vrai :

f(f(x))=f(x) ==> f(x)=x qlqs x

si tu repond par non ta solution est donc fausse puisque t as montré que cela est juste , si tu repond par oui ta reponse est encore fausse.

cet un joli exo pas trés difficile mais pas assez simple que tu crois Perelman.

PS : dans ma solution j'ai utilisé le TVI ...

Bonne chance à toi aussi Perelman , si vous avez fait la continuité en classe , un bon TSM pourra l resoudre

pas besoin de t'enerver cher mehdi !!!! le voila un petit bon contre exemple pour notre ami f(x)=1-x si x est rationnel et f(x)=x si x irrationel on a f(f(x))=f(x) (car q est dense dans IR) mais f(x)#x !! (mais je pense que le resultat que perleman a utilisé est vrai pour une fonction continue )

je ne crois pas quelque chose me dit qu il existe une fonction continue tel que f(f(x))=f(x) pr tt x et f(x)#x pour un certain x.
je cherche encore cet exemple

hmmmmm de quel choix tu parles perelman?