exircice de olympiad iran 1996

let x,y,z be positive real numbers . prove that

il existe une autre solution sans théorème mais avecbcp bcp de calcul !!!!!!

Soit S le membre guche de l'inegalite


pose :

p = x+y+z et q = xy+yz+xz et r = xyz

puis applique l'inegalité schur pour x , y et z de manier à mettre en evidence les p q et r


au final tu vas arrivé ; a f(p,q,r) -9/4 >=0 /// f(p,q,r) = S

S

solution

S

Solution ...

Soit S le membre de geuche de l'inégalité :

montre que :

S= (z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) +[xy / (x+y)² + yz/(y+z)² + xz/(x+z)²]




1 on a l'inegalité pour tout x y et z >0

(z/x+y)+ (x/y+z)+(y/x+z) >= 3/2 (inegalité Nsbit)

2 -Montrons que

xy / (x+y)² + yz/(y+z)² + xz/(x+z)² <= 3/4
soit A =xy / (x+y)² + yz/(y+z)² + xz/(x+z)²

on (x+y)² / xy = (x/y +y/x) +2 et (x/y +y/x >= 2)

donc xy / (x+y)² <= 1/4

d'ou au finale A <= 1/4 +1/4+1/4 =3/4

"Remarque : soit f et g deux fonction : g(x)<= max g(x) <= min f(x) <= f(x)
donc f(x) +g(x) >= minf(x) +max (g(x))

on aplique cette remarque on trouve :

Finalement S>= 3/2 +3/2 -3/4 =9/4
D'ou le resultat

Thalès a écrit:

tes trucs psitifs remarque qu'il faut les multiplier par 3pq , q et r (respectivement) alors ils peuvent changer de signe :s

Je ne vois pas comment ils peuvent changer de signe puisque x;y et z sont positifs => p;q et r positifs xD

raah les x y z sont positifs -_-' , sorry//

Pas grave xD
Cette inégalité est basée sur l'inégalité de Schur mais implicitement, ça se voit pas au début...