équation dans Mn(K)

Résoudre dans Mn(K) " l'ensemble des matrices carrées " l'equation en M :

M+tr(M)A=B

yassmaths a écrit:

Résoudre dans Mn(K) " l'ensemble des matrices carrées " l'equation en M : M+tr(M)A=B

BSR yassmaths !!
Je te propose une Formulation du Problème ....
Soient { E(i,j) , 1<=i,j<=n } la Base Canonique de Mn(IK)
Pour chaque i et j , E(i,j)=(dij)i,j avec dij Symbôle de Kronecker .....
La matrice M s'écrira M= SIGMA { xij.E(i,j) }
A=(aij)i,j et B=(bij)i,j
Tr(M)=x11+x22+......+xnn=SIGMA { xii , 1<=i<=n }=T

Ton problème se formulera ainsi :
Trouver n^2 éléments xij de IK tels que :
xij+T.aij=bij pour tout i et j compris entre 1 et n . ???????

En faisant j=i avec i=1,2,......,n
on aura xii+T.aii=bii
puis en faisant la somme sur i , on obtiendra :
T+T.Tr(A)=Tr(B)
soit T.{1+Tr(A)}=Tr(B)

Partant de là , il faudra déclencher une DISCUSSION .....

LHASSANE

Bonjour ;

Si trA#-1 alors solution unique : M=B-(trB/1+trA)A

Si trA=-1 et trB#0 alors pas de solution

Si trA=-1 et trB=0 alors infinité de solutions : M=aA+B , a£IK sauf erreur bien entendu

BSR Mr Elhor !!

C'est tout à fait celà !!
Merci d'avoir engagé et assuré la DISCUSSION , nous aurions aimé un FeedBack de la part de yassmaths .....

Aid Moubarrak Said à Vous & Votre Famille.

LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

yassmaths a écrit:

Résoudre dans Mn(K) " l'ensemble des matrices carrées " l'equation en M : M+tr(M)A=B

BSR yassmaths !!
Je te propose une Formulation du Problème ....
Soient { E(i,j) , 1<=i,j<=n } la Base Canonique de Mn(IK)
Pour chaque i et j , E(i,j)=(dij)i,j avec dij Symbôle de Kronecker .....
La matrice M s'écrira M= SIGMA { xij.E(i,j) }
A=(aij)i,j et B=(bij)i,j
Tr(M)=x11+x22+......+xnn=SIGMA { xii , 1<=i<=n }=T

Ton problème se formulera ainsi :
Trouver n^2 éléments xij de IK tels que :
xij+T.aij=bij pour tout i et j compris entre 1 et n . ???????

En faisant j=i avec i=1,2,......,n
on aura xii+T.aii=bii
puis en faisant la somme sur i , on obtiendra :
T+T.Tr(A)=Tr(B)
soit T.{1+Tr(A)}=Tr(B)

Partant de là , il faudra déclencher une DISCUSSION .....

LHASSANE

Merci Mr LHASSANE

mais on peut directement composé par la trace et discuter comme a fait mr "elhor" puisque la trace de la somme c'est la somme des traces ... sans passer par ce qui est en rouge !!

Amicalement!!

BJR yassmaths !!
Je suis content que tu aies réagi …… C’est la réactivité qui manque à ce Forum lorsqu’un répondant intervient …….
J’ai bien dit qu’il s’agit d’une FORMULATION du problème et non de sa résolution ……

Oeil_de_Lynx a écrit:

…….
BSR yassmaths !!
Je te propose une Formulation du Problème ....
Ton problème se formulera ainsi :
Trouver n^2 éléments xij de IK tels que :
xij+T.aij=bij pour tout i et j compris entre 1 et n . ???????

Puis j’ai clos mon Post avec la Formule Appropriée permettant , suite à une discussion de concrétiser …..
J’ai voulu par là te tendre la perche ……
Il est CLAIR que je sais bien que Tr(.) est un ENDOMORPHISME de Mn(IK) et que j'aurai pu terminer la solution comme l'a si bien fait Mr Elhor.

Oeil_de_Lynx a écrit:

…..
T+T.Tr(A)=Tr(B)
soit T.{1+Tr(A)}=Tr(B)

Partant de là , il faudra déclencher une DISCUSSION .....

Crois–Moi , lorsqu’on a été Prof pendant de longues années …. Résoudre un Problème n’est pas réellement un Challenge , par contre expliquer et être Pédagogue c’est plus intéressant et dur ……

Aid Moubarrak Said à Toi & Toute ta Famille .

LHASSANE

salut
et voici une autre equation du meme style

resoudre ddans Mn(K) :

M+ M' = tr(M).A (avec M' transposé de M)

A+

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR yassmaths !!
Je suis content que tu aies réagi …… C’est la réactivité qui manque à ce Forum lorsqu’un répondant intervient …….
J’ai bien dit qu’il s’agit d’une FORMULATION du problème et non de sa résolution ……

Oeil_de_Lynx a écrit:

…….
BSR yassmaths !!
Je te propose une Formulation du Problème ....
Ton problème se formulera ainsi :
Trouver n^2 éléments xij de IK tels que :
xij+T.aij=bij pour tout i et j compris entre 1 et n . ???????

Puis j’ai clos mon Post avec la Formule Appropriée permettant , suite à une discussion de concrétiser …..
J’ai voulu par là te tendre la perche ……
Il est CLAIR que je sais bien que Tr(.) est un ENDOMORPHISME de Mn(IK) et que j'aurai pu terminer la solution comme l'a si bien fait Mr Elhor.

Oeil_de_Lynx a écrit:

…..
T+T.Tr(A)=Tr(B)
soit T.{1+Tr(A)}=Tr(B)

Partant de là , il faudra déclencher une DISCUSSION .....

Crois–Moi , lorsqu’on a été Prof pendant de longues années …. Résoudre un Problème n’est pas réellement un Challenge , par contre expliquer et être Pédagogue c’est plus intéressant et dur ……

Aid Moubarrak Said à Toi & Toute ta Famille .

LHASSANE

Je vous comprends

Aid said a vous aussi !!

Merci LHASSANE et bonne fête également

solutions de l'équation : M+M' = tr(M).A

Si A n'est pas symétrique les seules solutions sont les matrices antisymétriques de Mn(IK)

Si A est symétrique et tr(A)#2 les seules solutions sont les matrices antisymétriques de Mn(IK)

Si A est symétrique et tr(A)=2 les solutions sont les matrices aA + N , a£IK et N matrice antisymétrique de Mn(IK) sauf erreur bien entendu