supposons que x+y+1/x+1/y=3n admet une solution
x=p/q et y=a/b, tel que pgcd(a,b)=1 et pgcd(p,q)=1
x+y+1/x+1/y=3n
<=>
p²ab+a²pq+q²ab+b²pq=3npqab (1)
donc ab|pq(a²+b²) <=> ab|pq(a+b)² <=> ab|pq
de meme on trouve que pq|ab
donc ab=pq
par suite (1) <=> a²+b²+q²+p²=3nab
si 3 ne divise pas abpq on aura a²+b²+q²+p²=4[3]
donc 3|abpq
par suite 3|ab et 3|pq car ab=pq
puisque pgcd(a,b)=1 et pgcd(p,q)=1
alors 3 divise a et ne divise pas b ou l'inverse.
et 3 divise q et ne divise pas p ou l'inverse.
dans ce cas on aura 3nab=a²+b²+q²+p²=0+1+0+1[3] absurde
Accueil 
