Exo suites

I//
Soit (Un)n>=2 une suite tq : Un = nVx (racine enieme de x) , x>0
1/ Montrer que si x>=1 , n>=2 :
0=< Un-1 =<(x-1)/n
En déduire limUn
2/ Calculez lim Un si 0<x<1

II//
Soit (an)n>=2 et (bn)n>=2 tel que :
an= n (nVx - 1 ) et bn= n(1 - 1/nVx ) , tel que x>1

1/ a/ Montrer que pour tt n >=2 , pour tt t>=1 :
n(t^(n+1) -1) >= (n+1) (t^n -1)
b/ Montrer que (an) est décroissante et (bn) est croissante.
2/ Montrer que (an) et (bn) sont adjacentes. Soit L leur limite commune.
3/ Montrer que 0=< L =< x-1

PS : nVx ; c'est la racine enieme de x
Bonne chance, et merci !

J'arrive pas a trouver la croissance de (bn), j'ai besoin d'un peu d'aide s'il vous plait !

Tu peux considérer la fonction : f(t) = 1-1/tVx
f'(t)=-1/t²Vx>0 f est croissante
f(n+1)-f(n)<0 <=> b(n+1)-bn<0 (sauf erreur)

(lol je croyais que nVx c'est n fois Vx et non pas la racine nième de x )

non , nVx , c'est la racine enieme de x

Bonjour rajaa16.
Je crois qu'il y a une erreur dans ton énoncé ( question II/ 1/ b/ ) : la suite (an) est décroissante et la suite (bn) est croissante.

* Montrons que (an) est décroissante:
On a: a(n+1) - an =(n+1)(x^1/(n+1) - 1) - n( x^1/n - 1).
Posons t = x^1/n(n+1). Donc t^n =x^1/(n+1) et t^(n+1) =x^1/n.
Par suite :a(n+1) - an =(n+1)(t^n -1) - n(t^(n+1) - 1).
Or 1<= t , donc d'après la question a/ précédente:a(n+1) - an <= 0,soit (an) est décroissante.

* Pour montrer que (bn) est croissante ; je propose de montrer tout d'abord l'inégalité proposée dans la question II/ 1/ a/ avec les conditions 2<=n et 0<t<=1 puis d'étudier le signe de (b(n+1) - bn) en s'inspirant de la démarche signalée auparavant en posant cette fois-ci t=1/(x^1/n(n+1)).

Ah oui désolée, (an) est décroissante, et (bn) est croissante .
Merci beaucoup haiki !