Question n°6: Calcul matriciel

Soit A = (a_i,j) € M_n(IR) telle que qqs 1 =< i =< n,

(somme de j=1 à n, j#i) |a_i,j| < |a_i,i|

Montrer que A est inversible.

A inversible <==> rg(A)=n
<==> les colonnes C_1, C_2,...C_n de la matrice A forment une famille libe.
Soient t_1,t_2,...,t_n des réels tels que t_1C_1+...+t_nC_n=0.
on note k un indice tel que |t_k| est maximal.
Alors si t_k est non nul, -t_k a_k,k= (Somme de i=1 à n et i#k) t_i a_k,i
==> |t_k| |a_k,k|=< (Somme de i=1 à n et i#k) |t_i| |a_k,i|
==> |a_k,k|=< (Somme de i=1 à n et i#k) |a_k,i|
ce qui est contraire à l'hypothèse d'où le résultat.