tres facile

trouver tt lé f , IR--->IR , telles ke :

f(x/4)=f(2x)

f(x)=a je croi f est constante

je pense que d'aprés un regard rapide sur l'exo f(x)=0.Mias j'ai pas su comment la démontrer.

saluut yassine ..
il ya pas que f(x)=0 qui peut etre une solution pour cette equation fonctionnel mais tt les les fonction constante sont des solution

Au oui tu as raison yugayoub j'ai pas fait attention.

. a écrit:

trouver tt lé f , IR--->IR , telles ke :

f(x/4)=f(2x)

Il y a une infinité de solutions. Par exemple :

f(x)=c constante quelconque

f(x)=sin(2pi log(|x|)/log(8 )) pour tout x non nul et f(0)=c constante quelconque

...

bien sur f est forcement une constante , et je vous propose ma soluce pour f continue sur IR :

on a f(x)=f(x/=f(x/8^2)=...=f(x/8^n)

donc on fixe le x et faisons nous tendre n vers +l'infinit
et puisque f est continue donc f(x)=f(0)=t

*f(x)=t ( avec t est une constant quelquonque .

pour nemo : tu peux nous montrer ta solution pour le deuxième exemple ????

. a écrit:

bien sur f est forcement une constante , et je vous propose ma soluce pour f continue sur IR :

on a f(x)=f(x/=f(x/8^2)=...=f(x/8^n)

donc on fixe le x et faisons nous tendre n vers +l'infinit
et puisque f est continue donc f(x)=f(0)=t

*f(x)=t ( avec t est une constant quelquonque .

pour nemo : tu peux nous montrer ta solution pour le deuxième exemple ????

Il n'y a pas de mention de continuité dans c problème.
Donc ce raisonnement est faux.

Quant à mon exemple : f(x)=sin(2pi log(|x|)/log(8 )) pour tout x non nul et f(0)=c constante quelconque

x=0 ==> évident
x non nul :

f(x/4)=sin(2pi (log(|x|)-log(4))/log(8 )) =sin(2pi log(|x|/log(8 )-4pi/3)
f(2x)=sin(2pi (log(|x|)+log(2))/log(8 )) =sin(2pi log(|x|/log(8 )+2pi/3)

et, comme sin(u-4pi/3)=sin(u+2pi/3) pour tout u : f(x/4)=f(2x)

nemo a écrit:

. a écrit:

bien sur f est forcement une constante , et je vous propose ma soluce pour f continue sur IR :

on a f(x)=f(x/=f(x/8^2)=...=f(x/8^n)

donc on fixe le x et faisons nous tendre n vers +l'infinit
et puisque f est continue donc f(x)=f(0)=t

*f(x)=t ( avec t est une constant quelquonque .

pour nemo : tu peux nous montrer ta solution pour le deuxième exemple ????

Il n'y a pas de mention de continuité dans c problème.
Donc ce raisonnement est faux.

Quant à mon exemple : f(x)=sin(2pi log(|x|)/log(8 )) pour tout x non nul et f(0)=c constante quelconque

x=0 ==> évident
x non nul :

f(x/4)=sin(2pi (log(|x|)-log(4))/log(8 )) =sin(2pi log(|x|/log(8 )-4pi/3)
f(2x)=sin(2pi (log(|x|)+log(2))/log(8 )) =sin(2pi log(|x|/log(8 )+2pi/3)

et, comme sin(u-4pi/3)=sin(u+2pi/3) pour tout u : f(x/4)=f(2x)

ma solution proposée était pour f continue c tt
pour f non continue, je sais pas

Il est assez facile de trouver une forme générale de solution incluant les solutions non continues :

l'équation est f(8x)=f(x)

Tout réel non nul peut s'écrire de façon unique x=s 8^n 8^y où :
s=+1 ou -1 est le signe de x
n est un nombre entier relatif (= [log(|x|)/log(8 )])
y est un réel dans [0,1[ (= {log(|x|)/log(8 )})

et alors f(x)=f(s 8^y)

f(x), pour x non nul, est donc totalement définie par sa connaissance (quelconque) sur [1,8[ et ]-8,-1], d'où une solution générale :

Soit h(x) quelconque définie sur ]-8,-1] U [0] U [1,8[
f(0)=h(0)
Pour x non nul : f(x)=h(signe(x)8^{log(|x|)/log(8 )})

bonjour nemo

Malheureusement; votre solution n'est pas generale !

car il existe autre solution voir ceci:

f(x) = h(x/|x| 8^(sin(2pi Ln|x|/Ln(8 )) ) et f(0)=a£IR et h une fonction qlq

. a écrit:

trouver tt lé f , IR--->IR , telles ke :

f(x/4)=f(2x)

d'une autre maniere f(x/4) = f(2x) ~ f(8x) = f(x)
si on resoud f sur IR+ on en deduit banalement pr x<0
puisque la fonction x->8^x est bijective de IR dans I=(0;+00) alors pr tt x£I il existe un unique y£IR tq x = 8^y.

posons d'abord f = goL avec L(x) = log_8(x) =ln(x) / ln(8 )

f(8x) = goL(8x) = g(L(x) + 1) = g(L(x)) => g(y +1) = g(y)

d'où tt les fonctions g sont les fonctions 1-périodiques.

donc f(x) = g( Ln(x)/Ln(8 ) ) x>0 avec g une fonction qlq 1-periodique sur IR

d'ou sur R on peut ecrire la solution sous la forme:

f(x) = A g( Ln(|x|)/Ln(8 ) ) pr tt x dans IR* et f(0)=a;A£IR et g est une fonction 1-periodique

des exemples:

f(x) = (-1)^( [Ln(x²)/(Ln(8 ))]) et f(0)=a

f(x) = (-1)^(ln(x²)/ln(8 ))

...

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claude wagschal

wagshall a écrit:

bonjour nemo

Malheureusement; votre solution n'est pas generale !

car il existe autre solution voir ceci:

f(x) = h(x/|x| 8^(sin(2pi Ln|x|/Ln(8 )) ) et f(0)=a£IR et h une fonction qlq

Ma solution est évidemment générale, et votre fonction, si elle est solution, peut trivialement se mettre sous la forme que je propose.

salut

d'abord je veux bien ecrire la solution generale par:

f(x) = A h(x/|x| g(Ln|x|/Ln8)) si x# 0

et f(0) = a;A£IR et g fonction qlq 1-periodique et h une fonction qlq.

d'abord oui c evident d'ecrire la solution generale d'une infinity de methodes