Jolie fonction dans IN !

Trouvez tous les application de N*--> N* te que f(1)=1 et f(a²+b²+c²+d²)=f²(a)+f²(b)+f²(c)+f²(d) pour tout (a,b,c,d) £ N*^4

Salut, ça fait un bon bout d'temps que j'ai quitter le forum et me revoila//
Ptite question le f² c le fof ou le fxf

je pense que c le carré... (rebienvenu!).

slt!!

Joli pb :

on a comme donnée

F(a,b,c,d):f(a²+b²+c²+d²)=f²(a)+f²(b)+f²(c)+f²(d)

F(a,a,a,a)==>f(4a²)=4f²(a)

f(4)=4

F(4,2,2,2)==>f(2)=2 ==>f(16)=16.

F(5,1,1,1)=F(4,2,2,2)==>f(5)=5. et f(100)=100.

F(3,3,3,1)=F(5,1,1,1)==>f(3)=3==>f(36)=36.

F(7,7,1,1)=F(5,5,5,5)==>f(7)=7.

F(16,2,1,1)=F(8,14,1,1) et on a f(4*7²)=196=f(196) donc f( 8 )=8.

F(9,2,1,1)=F(6,7,1,1)==>f(9)=9.

F(5,1,1,1)=F(8,6,1,1)==>f(10)=10.

F(9,2,1,1)=F(6,7,1,1)==>f(6)=6.

donc on a determiné f(a) pour tt a£{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

et on utilisant les propriétes suivantes :

(5t+1)²+2²=(3t-1)²+(4t+2)²
(5t+2)²+1²=(4t+1)²+(3t+2)²
(5t+3)²+1²=(4t+3)²+(3t+1)²
(5t+4)²+2²=(4t+2)²+(3t+4)²
(5t+5)²=(4t+4)²+²(3t+3)²

on deduit f(n)=n pour tt n£IN*.

Il existe une jolie solution de 3 ligne o maximum !!!

hmm oui je pense avec des réccurences........

De 3²+3²+3²+1²=2²+2²+2²+4²=28 => 3.f²(3)+1=3.f²(2)+f²(4)
On a f(4)=4.f²(1)=4 on déduit
(f(3)-f(2)).(f(3)+f(2))=5
et par suite
f(3)=3,f(2)=2.
De la relation
3.(n+2)²+n²=3.(n+1)²+(n+3)²
On déduit
3.f²(n+2)+f²(n)=3.f²(n+1)+f²(n+3)
on conclut par un récurrence