Taf , Rolle

ben on a tout simplement g'(x)=f''(x)<0 car f' est décroissante,du coup g l'est aussi!

radouane_BNE a écrit:

ben on a tout simplement g'(x)=f''(x)<0 car f' est décroissante,du coup g l'est aussi!

BSR Radouane !!
Je me demande si ta méthode est acceptable ......
En effet , il est nulle part spécifié dans l'énoncé de red.line que f est deux fois dérivables pour exprimer la décroissance de f' à l'aide du signe de f".
Pour ma part , je cherche comment faire !!!

LHASSANE

red.line a écrit:

Soit f une fonction derivable tel que f' decroissante sur ]α,β[ ( α et β appartiennent a ]0,+oo[ et α<β )
soit g(x) =xf'(x) - f(x) (∀x∈]α,β[ )
Montrez que g est decroissante sur ]α,β[

Je ne vois pas d'autre façon de démarrer à part comme celà :
Soient u et v deux réels quelconques tels que alpha<u<=v<bêta
g(v)-g(u)=v.f'(v)-u.f'(u) + f(u)-f(v)
On pourra écrire selon le TAF : f(u)-f(v)=(u-v).f'(w) avec u<=w<=v
Puis :
g(v)-g(u)=v.f'(v)-u.f'(u) + u.f'(w) - v.f'(w)
=v.{f'v)-f'(w)} + u.{f'(w)-f'(u)}
Puisque f' est DECROISSANTE sur ]alpha ; bêta[ alors
f'(w)-f'(u)>=0 et f'(v)-f'(w) >=0
d'ou g(v)-g(u)>=0

Et c'est Tout Simple !!!!

LHASSANE

PS : le TAF suffit .....

slt

oé ça ma l'air juste ce que tu as écris oeil de lynx ( et oui pas besoin de rolle )^^

red.line a écrit:

......... C'est ce que je me disais aussi ! Donc selon vous il existerait des fonction monotone et non derivable sur un intervalle I ? ....

BSR red.line !!

Ce n'est pas pareil ..... Je disais simplement que ton énoncé dit que f est dérivable sur ]a;b[ avec 0<a<b<+oo ; que sa dérivée f' est décroissante sans plus .... Radouane , dans sa réponse , a supposé que f était 2-fois dérivable ce qui n'est pas forcément réalisé !!!
En fait ta fonction f est CONCAVE sur ]a;b[ sans être 2-fois dérivables .

Essaye de fabriquer un exemple de f sur ]0;3[ par exemple ....

D'autre part , tu parles ( ce qui n'a rien à voir avec ton exo ) de fonction monotone et non dérivable sur un intervalle I .
Celà existe dans la nature ..... Prends par exemple I=IR puis f(x)=E(x)
la fonction Partie Entière . f est monotone ( croissante ) sur IR MAIS n'est pas dérivable aux points de Z !!!

LHASSANE

PS : Merci Beaucoup hindou11 !!

oui la réciproque est fausse

f dérivale IMPLIQUE f croissante le contraire est faux

et ce qui prouve ça ( moudad l3akss ça s'appelle comment en français ça ^^) la partie entière comme la dit oeil de lynx

fais attention red line les défintions ne sont importantes que si on les retient entièrement et qu'on n'oulbie aucun détail c'est ça les maths !! ^^

hindOu