Série Entière

Soit (a_n)_n>=0 une suite réelle telle que : 1/n*SUM( k=0 --> n-1){a_k} tend en +oo à 1.
1/ Quel est le rayon de convergence de SIGMA( n>=1){a_n*x^n}.
2/ En notant S sa somme, calculer lim ( x-->1 et x<1 ) { (1-x)*S(x)}.

Pour la première question: le rayon de convergence est 1.
En effet, comme la limite de la moyenne est 1, donc la somme partielle des a_k est equivalente à n en +infini; ceci entraine que la serie entière diverge au point x_0=1 donc son rayon de convergence est inférieure à 1. Maintenant pour obtenir la majoration, on exprime a_n en fonction des sommes V_n=1/n*SUM(a_k), plus précisément on a a_n=nV_n-(n-1)V_(n-1), et les séries entières de coéfficients nV_n et nV_(n-1) ont le même rayon de convergence que les séries entières de coéfficients V_n et V_(n-1) qui est supérieure à 1 (car les suites sont convergentes); d'où le rayon de convergence de la série entière de coéfficient a_n est supérieure à 1. Conclusion: le rayon est 1.

Pour la deuxième question: la limite est +infini. c'est long à écrire, mais l'idée c'est d'utiliser le produit de Cauchy (des séries entières Sum x^{k} et SUM a_kx^{k}), la série produit de Cauchy obtenue est alors SUM A_{k}x^{k} où A_{n}=SUM_{k=0..n}a_{k} et on termine en remarquant que A_{n} est équivalente à n en +infini.