Logarithmétique

J'ai récemment lu ceci par hasard en me documentant sur les logarithmes :' For each number x in open interval ]1,e[, it is easy to show that there is a unique number y in ]e;+∞[ such that ln(x)/x = ln(y)/y'.

Je constate que la véracité de cette proposition serait preuve de l'infinité de solutions de l'équation (E).
(E) : x à la puissance y = y à la puissance x.
Toutefois, après plusieurs tentatives ayant recours au T.V.I., je ne réussis pas à la démontrer. Une aide serait la bienvenue.

slt

va voir dans le sujet de l3arbi j'y ai posté une solution ^^

un lien stp ?

Matherror a écrit:

J'ai récemment lu ceci par hasard en me documentant sur les logarithmes :' For each number x in open interval ]1,e[, it is easy to show that there is a unique number y in ]e;+∞[ such that ln(x)/x = ln(y)/y'.

Je constate que la véracité de cette proposition serait preuve de l'infinité de solutions de l'équation (E).
(E) : x à la puissance y = y à la puissance x.
Toutefois, après plusieurs tentatives ayant recours au T.V.I., je ne réussis pas à la démontrer. Une aide serait la bienvenue.

Salut Matherror !!

Vas voir ICI :
https://mathsmaroc.jeun.fr/groupe-etudiants-du-t-s-m-f28/un-difficile-exo-pour-les-matheux-hard-t14887.htm#126351

Et tu découvriras la Soluce de hindou11 .

LHASSANE

Peut-être m'avez-vous mal compris, mais je ne cherche pas de solutions à l'équation, du moment qu'elle en admet une infinité dans IR+².
Je veux plutôt démontrer ceci : 'pour tout x de ]1,e[, il existe un y de ]e;+∞[ tel que ln(x)/x = ln(y)/y ; ce qui n'est pas traité dans le sujet que vous m'avez indiqué. Vous avez certes étudié la monotonie de la fonction x ---> ln(x)/x, mais en quoi cela prouve-t-il l'existence du y voulu.
Bref, j'espère que j'ai éclairci l'ambiguïté.

Bsr LHASSANE
Considérer la fonction f(x;y)=x^y-y^x
Cela vient éclairer la remarque interessante de matherror

BSR Matherror !!

Maintenant , c'est à Moi de te répondre ....

L'étude des variations de la fonction t ------> f(t)=Ln(t)/t sur l'intervalle ]0;+oo[ montre que f est strictement croissante sur ]0;e] et strictement décroissante sur [e;+oo[
De plus elle atteint un MAXIMUM pour t=e qui vaut f(e)=1/e
Puisque Limf(t)=0+ lorsque t------>+oo
Alors f([e;+oo[)=f(]1;e])=]0;1/e]
Autrement dit : pour tout réel c dans ]0;1/e]
l'équation f(u) = c , u dans ]1;+oo[ admet EXACTEMENT DEUX SOLUTIONS x et y
L'une x est dans ]1;e] et l'autre y est dans [e;+oo[
Ces deux solutions x et y sont confondues ( égales à e ) lorsque c=1/e et distinctes autrement .

J'espère que maintenant , tu as compris .......

LHASSANE

PS : Merci à Moncef pour la belle surface obtenue à l'aide de Maple ( ?? ) .

Ah, voilà, un grand merci à vous pour avoir explicité la démonstration Oeil de Lynx.
- Belle courbe, aussi, Moncef.