An inequality!!

Soient
tels que
Montrer que

slt!

t'es sur de l'inégalité?

une application directe de jensen donne:




Edité

Désolé! C'est rectifié

bon c une double application de jensen pour f(x)=sqrt(x) et f(x)=x/sqrt(1-x) ....

précise

f(x)=sqrt(x) est concave sur [0,1]

jensen donne:

==>

donc en utilisant ce qui en dessus on tire que:



Edité.

L'equation (1) est malheureusement faux car d'après la concavité de la fonction sqrt(x) on aura sqrt(n) au lieu de sqrt(1/n).
prenez par exemple x_1=x_2=1/2 et n=2

nn c juste , j'ai juste oublié un petit "n".

si vous avez utilisé la convexité de la fonction f(x)=x/sqrt(1-x).
En dérivant f deux fois on trouve f''(x)=(4.x-1)/A².sqrt(A) avec
A=x(1-x) qui elle n'est convexe que sur [1/4,1].
Est ce que vous pouvez expliquer la 2ième propst.

moskavit a écrit:

si vous avez utilisé la convexité de la fonction f(x)=x/sqrt(1-x).
En dérivant f deux fois on trouve f''(x)=(4.x-1)/A².sqrt(A) avec
A=x(1-x) qui elle n'est convexe que sur [1/4,1].
Est ce que vous pouvez expliquer la 2ième propst.

c une application directe de jensen.

[f(x_1)+f(x_2)+.....+f(x_i)]/n>=f((x_1+x_2+...+x_i)/n)=f(1/n).

je m'excuse j'ai dérivé la fonction f(x)=sqrt(x)/sqrt(1-x).
les racines m'ont rendu aveugle.

pas de pb

Lol, juste le fait de voir que ∑xi=1 nous ammène à penser à Jensen directement.

oui c trivial ^^