Re...Barycentre !

Bonsoir Tout le Monde !

Après un bon bout de temps que je n'ai pas visité le Forum, je vous propose Cette Série d'Exos .

Exo 1 :
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, G le barycentre de (A,2)(B,1) et H le barycentre de (C,2)(D,1).
a) Montrer que les droites (AC), (BD) et (GH) sont concourantes.
b) Soit E le barycentre de (G,3)(D,1). Montrer que E est le milieu de [AO].

Exo 2 :
A, B, C et D sont quartes points distincts.
On note K le barycentre de (A,3)(B,1), J le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Exo 3 :
Soient A et B deux points distincts et G = bar (A, a), (B, b) avec a + b =/ 0.
Démontrer que :G appartient à [AB] ⇔ a et b sont de mêmes signes.

Exo 4 :
Déterminer L'ensemble des points M du plan tels que:
ll3MA+2MBll=ll3MA-2MBll (vecteurs) .

Exo 5 :
soit ABC un triangle
on donne : AB=c ; AC=b ; BC= a
soit E l'emplacement du bissectrice interne de l'angle [BÄC] sur [BC] c-à-d. que E appartient à [BC] tel que [AE] est le bissectrice de [BâC]
1) montrer que : BE/CE = AB/AC =c/b
2) montre que : E est le barycentre des points pondérés (B,b) et (C,c)
3) soit I le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
montre que I est le barycentre des points pondérés (A,a) ; (B,b) et (C,c)
4) soit un repère orthogonal normé tel que : A(0;12) ; B(5;0) ; C(16;0)
quels sont les coordonnées du centre I du cercle circonscrit au triangle ABC.

P.S : Niveau d'Exos Facile .

Salùt !

Exo 4 :
On considére G bary (A,3),(B,2) , H bary (A,3),(B,-2)
ll3MA+2MBll=5MG , ll-2MB+3MAll=MH
5MG=MH
⇔25MG²=MH²
⇔25MG²=MH² (Vecteurs)
⇔25MG²-MH²=0 (Vecteurs)
⇔(5MG-MH)(5MG+MH)=0 (Vecteurs)
On Considére G1 Bary (G,5),(H,-1) et G2 Bary (G,5),(H,1)
⇔4MG1.6MG2=0 (Vecteurs)
⇔MG1.MG2=0 (Vecteurs)
⇔MG1 ⊥ MG2 (Vecteurs)
Donc l'Ensemble des Points M est le Cercle dont le rayon est[G1G2] .

A+!

Bien vu AyouB M-H, C'est la meme Methode que j'ais fait .

Exo 5 :



1) appliquons Thalés avec (BB')ll(AE) et C,A,B' alignés et C,E,B alignés
alors BE/CE=B'A/AC (*)
nous avons : EAB=ABB' (angles)
et ACE et B'CB deux triangles semblables
alors CAE=CB'B=ABB' d'où ABB' Isocèle alors AB'=AB
(*) => BE/CE=AB/AC=c/b

2) nous avons BE/CE=c/b
alors bBE=cCE
puisque E, B et C alignés et B n'app pas à [Ec)
alors bBE=-cCE (vecteur)
bBE+cCE=0 (vecteur)
d'où E le bar. de (B,b) , (C,c)

3) je pense que I le centre du cercle inscrit au triangle ABC !!!
soit BF le bissectrice de [ABC]
avec les mêmes étapes on trouve : AF/CF=c/a
et aAF+cCF=0 (vecteurs)
alors F est le barycentre de (A,a) et (C,c)
et E le barycentre de (B,b) et (C,c)
soit G le barycentre de (A,a) ; (B,b) et (C,c)
<=>
- G le bary. de (A,a) et (E,c+b) => G£(AE)
- G le bary. de (B,b) et (F,a+c) => G£(BF)
alors G=I le centre du cercle inscrit au triangle ABC est le barycentre de (A,a) ; (B,b) et (C,c)

4) a=BC=V((xC - xB)²+(yC-yB)²)=11
b=20
c=13
xI=7
yI=3
I(7,3)

Exo 1

1) Puisque ABCD est un parallélogramme, (AC) et (BD) ont un point commun, O qui est le centre d'[AC] et de [BD].
G est le barycentre de (A,2)(B,1) et H le barycentre de (C,2)(D,1).
Donc :
(Je ne sais pas comment mettre la flèche des vecteur, mais bon, c'est des vecteurs. XD )

2AG + BG = 0
=> 2AO + 2OG + BO + OG = 0
=> 2AO + BO + 3OG =0 (1)

On a aussi :

2CH + DH = 0
=> 2CO + OH + DO + OH = 0
=> 2CO + DO + 3OH = 0 (2)

De (1) et (2), on déduit :
2(AO + CO) + (BO + DO) + 3(OG + OH) = 0
=> 3(OG + OH) = 0 (O est le centre de [AC] et de [BD])
=> OG + OH = 0
Donc O est le centre de [GH] et donc O € [GH]
Donc (AC), (BD) et (GH) sont concourantes dans O. =)

Exo 1 :

2) On a d'après la première question : (C'est des vecteurs)
2AO + BO + 3OG = 0 (1)
Et puisque E est le barycentre de (G,3)(D,1) :
3GE + DE = 0 (2)

De (1) et (2), on déduit :
3(OG + GE) + 2AO + BO + DE = 0
=> 3OE + 2AO + BO + DO + OE = 0
=> 4OE + 2AE + 2EO = 0
=> 2OE + 2AE = 0
=> OE + AE = 0
Donc E est le centre de [OA].

Salùt !

Exo 2 :
On a :
G barycentre de {(B,1),(C,1),(D,1)}
K barycentre de {(A,3),(B,1)}
I barycentre de {(A,3),(G,3)}
En utilisant la propriété d'associativité des barycentres :
I barycentre de {(J,1),(K,2)}
d'Où : JI = 2IK (vecteurs)
=> les points I, J et K sont alignés.

A+!

Ree-Salùt !

Exo 3 :
G £ (AB)
Pour( => ) :
aGA+bGB=0 ⇔ aGA=-bGA (Vecteurs)
Si a et b sont de même signe , les vecteurs GA et GB sont de sens contraire donc G £ [AB]
Pour ( <= ) :
Soit G £ [AB]
On sait que : AG=b/(a+b)AB (Vecteurs) avec 0≤b/(a+b)≤1 ) (*)
1er cas : si (a+b) > 0 :
en multipliant (*) par (a+b) , on obtient : 0≤b≤a+b
en transposant On obtient : a≥0
Conclusion : a et b positifs
Meme Chose pour le 2eme cas : si (a+b) < 0
On obtient : a et b négatifs
d'Où le resultat : G £ [AB] ⇔ a et b sont de mêmes signes.

A+!