exo suites ( original )

Bjr tout le monde :

Soit Un une suite tel que :
U0= 3/2
Un_+1 = Un^2 -2Un +2

1-montrez que 1<= Un =< 3/2
2-montrez que Un est décroissante
3- montrez que (Un_+1)-1 =< 1/2 (Un-1) sans récurence
4- en déduire que : Un - 1 <= (1/2)^(n+1) sans récurence aussi

Pour moi c'est la déduction qui est joli ^^ amusez vous bien !!
Je posterai la réponse plus tard dans la nuit

Personne ?? c'est facil quand même

je pense que tu dois verifier les deux dernieres questions. (concernant la signe de l'inferiorité).

c'est inférieur ou égal fles deux cas ^^

Toujours personne .. Ok dans 20 minutes je post la réponse

remplace dans la question 3: par exemple n par 0 .

Dsl c'etai une faute de frappe toute banal c'est corrigé ^^ au fait on a
Un_+1 -1 pas Un_+1

moi maintenent c'est claire .pour la deduction,la meme methode se repete dans les exo des suite.

essayez de tout prouver sans récurrence (permutez l'ordre des question 1 et 2)

darkpseudo a écrit:

Bjr tout le monde :

Soit Un une suite tel que :
U0= 3/2
Un_+1 = Un^2 -2Un +2

1-montrez que 1<= Un =< 3/2
2-montrez que Un est décroissante
3- montrez que (Un_+1)-1 =< 1/2 (Un-1) sans récurence
4- en déduire que : Un - 1 <= (1/2)^(n+1) sans récurence aussi

Pour moi c'est la déduction qui est joli ^^ amusez vous bien !!
Je posterai la réponse plus tard dans la nuit

la déduction peut atre effectuer juste avec 1-2
vue que Un est décroissante et minorée donc convergente, soit l sa limite!
l=l²-2l+2 ...

Oui tu a raison , mais vu qu'on a pas encor étudié les limites en classe ; j'ai essayer de forcé un peu sur la démo et voila ce que j'ai fait ^^ :
on a :
Un-1 <= 1/2 (U0-1)
(Un-1)^n<= (1/2)^n (U0-1)^n = (1/2)^2n
donc : 2^(n-1) (Un-1)^n <=(1/2)^n+1

montrons que : 2^(n-1) (Un-1)^n >= Un-1
on sait que Un-1 <= 1/2
donc prenons la plus grand valeur de Un-1=1/2
2^(n-1) (1/2)^n - 1/2 = 0

donc 2^(n-1)(1/2^n)>=1/2
et puisque 1/2 est la plus grande valeur de Un donc
2^(n-1) (Un-1)^n >= Un-1
alors Un-1 =<2^(n-1) (Un-1)^n <=(1/2)^n+1
Un-1 <=(1/2)^n+1

j'ai utilisé les limites mais d'une maniére implicite

on a po encore fait de limites !!!!

(Un_+1)-1 =< 1/2 (Un-1)



Un -1 =< 1/2 ( Un-1 -1)
Un-1 -1 =< 1/2 (Un-2 _1)
.
.
.
U2 -1 =< 1/2 (U1 -1)
U1 -1 =<1/2 (U0-1) = 1/2²
tu multiple des inégalité t'auras ton ptit résultat ^^" on a (Un-1>=0)
Un -1 =< 1/2^(n+1)