Exercices de vecteurs

premier exercice:
ABC est un triangle.
Soient I et J les milieux de AC et de BI.
La droite AJ coupe la droite BC en D.
1/Montrez que BD=BC/3. (vecteurs)
2/Ecrivez AJ en fonction de AD. (vecteurs)
deuxième exercice:
ABC est un triangle.
Soit D l'image de C par la translation qui change A à B.
et E l'image de C par la translation qui change B à A.
1/Dessinez la figure.
2/Montrez que AD+AE=2AC. (vecteurs)
3/Soit F le point tel que 4AF=3AD+AE. (vecteurs)
Montrez que les points C,F,et D sont allignés.
Bonne chance.

Le deuxième est facile.
éssayez

Pour le deuxième:
1/ On dessine la figure en respectant les données.
2/ (vecteurs dans tout qui suit).
On a D l'image de C par la translation qui change A à B.
Donc AB=CD. (vecteurs)
On a E l'image de C par la translation qui change B à A.
Donc BA=CE.
Donc AB=EC.
Donc CD=EC.
Donc CD-EC=0.
Donc CD+CE=0.
Donc AC+CD+AC+CE=AC+AC.
Donc AD+AE=2AC.
3/ (vecteurs dans tout qui suit).
On a 4AF=3AD+AE. (vecteurs)
Donc 4AF=3(AF+FD)+(AF+FE). (vecteurs)
Donc 4AF=3AF+3FD+AF+FE. (vecteurs)
Donc 4AF=4AF+3FD+FE. (vecteurs)
Donc -FE=3FD. (vecteurs)
Donc EF=3FD. (vecteurs)
Ce qui prouve que les points C, F, et D sont allignés.

Pour le premier:
On va procéder en utilisant la projection:
Considérons la projection p, qui projette sur (BC) en parallèle à (AD).
Soit M l'image de I par la projection p.
En un premier temps, on projette [AC] sur (BC).
On a p(C)=C, p(I)=M, et p(A)=D.
Comme on a I le milieu de [AC].
Et on sait que la projection conserve le milieu.
Donc M est le milieu de [DC].
On peut écrire: DM=MC. (vecteurs) ==>(1)
En utilisant la projection p, on peut facilement prouver que BD=DM. (vecteurs) ==>(2)
On a BC=BD+DM+MC. (vecteurs)
Donc, en utilisant 1 et 2, BC=BD+BD+DM. (vecteurs)
Donc BC=BD+BD+BD. (vecteurs)
Donc BC=3BD. (vecteurs)
Donc BD=BC/3. (vecteurs)
2/ (vecteurs dans tout qui suit).
Dans le triangle BIM.
J et D étant les milieux respectifs de BI et BM.
Donc JD=(1/2)IM.
De même IM=(1/2)AD.
Donc JD=(1/2)(1/2)AD.
Donc JD=(1/4)AD.
Donc 4JD=AD.
Donc 4(JA+AD)=AD.
Donc 4JA+4AD=AD.
Donc -4AJ=-3AD.
Donc AJ=(-3/-4)AD.
Donc AJ=(3/4)AD.
Sauf erreur.

nmo a écrit:

Pour le premier:
On va procéder en utilisant la projection:
Considérons la projection p, qui projette sur (BC) en parallèle à (AD).
Soit M l'image de I par la projection p.
En un premier temps, on projette [AC] sur (BC).
On a p(C)=C, p(I)=M, et p(A)=D.
Comme on a I le milieu de [AC].
Et on sait que la projection conserve le milieu.
Donc M est le milieu de [DC].
On peut écrire: DM=MC. (vecteurs) ==>(1)
En utilisant la projection p, on peut facilement prouver que BD=DM. (vecteurs) ==>(2)
On a BC=BD+DM+MC. (vecteurs)
Donc, en utilisant 1 et 2, BC=BD+BD+DM. (vecteurs)
Donc BC=BD+BD+BD. (vecteurs)
Donc BC=3BD. (vecteurs)
Donc BD=BC/3. (vecteurs)
2/ (vecteurs dans tout qui suit).
Dans le triangle BIM.
J et D étant les milieux respectifs de BI et BM.
Donc JD=(1/2)MI.
De même MI=(1/2)AD.
Donc JD=(1/2)(1/2)AD.
Donc JD=(1/4)AD.
Donc 4JD=AD.
Donc 4(JA+AD)=AD.
Donc 4JA+4AD=AD.
Donc -4AJ=-3AD.
Donc AJ=(-3/-4)AD.
Donc AJ=(3/4)AD.
Sauf erreur.

Merci Mr nmo pour les deux exercises, méme s'ils sont façile.
JD=1/2(IM) plutot , jte laisse reprendre tes calculs alors.

Bonne remarque M.Marjani.
Je vais éditer mon message.