Une limite !

Bonjour ;

Pour f : [0,1] ---> IR continument dérivable , on pose : In = Int [0 à 1] (sin(nx)/x).f(x).dx

montrer que : In ---> (Pi/2).f(0) quand n ---> +oo bonne réflexion !

salut Mr.Elhor,

enfait ça fait maintenant plus d'une année que j'ai pas vu les séries de fourier,bcp de choses m'échappent de cours,mais permettez moi de vous embetez par cette idée,apparement fausse,pourtant,il se peut qu'elle soit bien élaborée pour donner une certain réponse.


on a la fonction (f(x)-f(0))/x est intergrable (voir bornée),ses coeficcients de fourier convergent donc vers 0,par suite on pourrait remplacer f(x) par f(0) sans changer la limite de l'intergrale,et vue la fameuse intergrale int_{0}^{+\infty} sin(x)/xdx=Pi/2,le résultat s'en suit.

pour le premier intergrale,je sais pas comment t'as fait la passage à la limite pour déduire qu'il égale à 0.

radouane_BNE a écrit:

pour le premier intergrale,je sais pas comment t'as fait la passage à la limite pour déduire qu'il égale à 0.

Ca parait faisable par encadrement (puis gendarmes)

.......??

ont note l'integrale Jn
m=<f'(cy;n)=<M
(m/n).int(0-->n) sin(y)dy =<Jn=<(M/n) .int(0-->n) sin(y) dy
l1/n . (int(0-->n) sin(y) dy))l = l1/n . (cos(n) -1)l --> 0
( 1/n (cosn-1))=<2/n

aprés avoir bornée f', il suffit de dire que notre intégral est inférieur à l'autre (en valeure absolue) , et que l'autre en valeure absolue est inférieure à l'int(0,+00) dans I_n , et tendre n->+00 , ce qui donne directement le 0

Bonsoir à tous !

radouane_BNE >> :

Comme tu l'as remarqué avec des théorèmes généraux de spé comme celui de Dirichlet ou celui de Riemann-Lebesgue l'exercice devient facile voir même évident !

mais justement là je crois qu'il est faisable avec des connaissances de terminale mais sans être tout à fait à la portée !!


Alaoui.Omar >> :
La remarque de radouane est pertinente , tu ne peux pas majorer en valeur absolue la quantité f'(cy,n) sans faire de même pour le sinus . sauf erreur bien entendu

radouane_BNE a écrit:

pour le premier intergrale,je sais pas comment t'as fait la passage à la limite pour déduire qu'il égale à 0.

Bonne question que je dois justifier trés bientôt.
merci

voir ici:
http://www.mathsland.com/Forum/index-forums.php?forum=5

tres manifique