Limite2.

calculer :

C'est = e

la demo svp....

PS: c tres connu que c e!

Formule connu, C en utilisant le développement en série de l'exponentielle que vous pourrait demontrer cette solution qui n'es qu'un cas particulier en donnant a x la valeur 1. (D'autre demonstration prefabriqué sont possible)

Edit : Voilà le resultat e(x)=sigma (x^n)/n!
Se qui est de son rayon de convergence, il est infini

je serai ravi si tu postes la soluce complète

il existe une autre soluce simple qui ne demande que des manipulations de fonction et des suites...

saluut Hamza il suffit de montrer que

et puis deduire la limite (=e)

perelman poste ta soluc stp ^^

salut :

on pose Fn(x) = 1 - exp(-x) ( sigma x^k /k! )


par T.A.F sur l'intervalle [0;x] quelque soit x £ [0;1] :

0 inf à Fn(x) inf à (1/n!)

ce qui guarantit que :

lim Fn = 0 = ==) lim sigma x^k /k! = exp(x)

et puisque 1 £ [0;1] si x=1



lim sigma 1/k! = e

je partage la méthode de l'infini d'aillaeurs elle est plus généralisée !

hindou11 a écrit:

perelman poste ta soluc stp ^^

slt!

on travaille avec ces deux suites:

u_n=sigma(1/k!)(de 0 à n)

et v_n=u_n+1/nn!

ensuite on peut prouver que:

|u_n/e-1|=<1/n! (TAF),le résultat est immédiat.

PS/ ces deux suites peuvent nous servir à montrer que e n'appartient pas à Q.

Exactement, j'avais du mal à reconstruire ces suites
J'me rapelle avoir vu cet exo en terminale (manuel)

oui ce truc de suites pour montrer que (e) est irrationnel est cité dans le manuel de la terminale

oui :d

ça c'est ok mais ...

??

v_n=u_n + 1/nn!

donc aucune des deux je mdisais bien que ça ne donnais rien ^^

Interessant. Au fait comment il faut s'y prendre pour montrer que e n'appartient pas à Q ?

Salam othmaan

pour montrer que e n'appartient pas a Q

tu dois montrer que un et vn sont adjacentes donc converge vers la meme limite

donc un < e < vn utilise l'absurde et a l'aide de cet encadrement tu dois aboutir a une contradition

A+

en utilisant le resultat precedent il sera facile de prouver que e et irrationel ! on prenant une suite (Un) qui est la somme des 1/k! et une suite Vn=Un+1/(n)n!
Les suites (Un) et (Vn) convergent vers e en croissant et décroissant (adjacentes) on peut donc écrire Up < e < Vp (p de IN)
Si e est un nombre rationnel, il secrit alors sous la forme k/p et multipliant le tout par p x p! :

p x p! x up < k x p! < p x p! x up + 1

Cet encadrement et faux car les nombres p x p! x up et k x p! sont des entiers.