Equation

On m'a conseillé de l'écrire ici. le voici:
Soient les équations:
(E): x^2+ax+1=0 et (E'): x^2+bx+1=0.
Et soient x1 et x2 les solutions de (E) et y1 et y2 les solutions de (E').
Calculez en fonction de a et b les produits
P=(x1-y1)(x2-y1)(x1+y2)(x2+y2).
A=(x1-y1)(x2-y2)(x1+y1)(x2+y2).
Bonne chance.

Cet exercice figure dans notre livre et dans l'olympiade de la deuxième étape de Kénitra pour l'année 2008.
A est dans notre livre et P dans l'olympiade.

x1x2=1 et y1y2=1
x1+x2=-a et y1+y2=-b
A=(x1-y1)(x2-y2)(x1+y1)(x2+y2)
= (x1²-y1²)(x2²-y2²)
Puis :
x1x2=y1y2 <=> -x1(x1+a)=-y1(y1+b)
<=>x1²-y1²=b-a
<=> x1²= b-a+y1² et y1²=a-b+x1²
de même on aura x2²-y2²=b-a

D'où :

A = (a-b)²

Sauf erreur ..

Sylphaen a écrit:

x1x2=1 et y1y2=1
x1+x2=-a et y1+y2=-b
A=(x1-y1)(x2-y2)(x1+y1)(x2+y2)
= (x1²-y1²)(x2²-y2²)
Puis :
x1x2=y1y2 <=> -x1(x1+a)=-y1(y1+b)
<=>x1²-y1²=b-a
<=> x1²= b-a+y1² et y1²=a-b+x1²de même on aura x2²-y2²=b-a

D'où :

A = (a-b)²

Sauf erreur ..

Je n'ai pas compris ce qui est en rouge Peux-tu m'expliquer?

x1+x2=-a et y1+y2=-b

J'ai remplacé x2 par -(a+x1) , même chose pour y2

Je n'ai pas compri l'autre étape pas celle ci. Merci de toute façon.

Oui je pense que tu connais pas cette propriété :

Si x1 et x2 sont les soluces de l'équation :

(E) : ax²+bx+c=0

Donc :

x1.x2=c/a
x1+x2=-b/a

Résultat directe de la somme et le produit de :

Sylphaen a écrit:

Oui je pense que tu connais pas cette propriété :

Si x1 et x2 sont les soluces de l'équation :

(E) : ax²+bx+c=0

Donc :

x1.x2=c/a
x1+x2=-b/a

Résultat directe de la somme et le produit de :

De toute évidence, nmo ne parlait pas de ça.
Il évoquait ce passage :

Citation :

-x1(x1+a)=-y1(y1+b)
<=>x1²-y1²=b-a

Qui est tout à fait douteux.

Je n'ai pas compri comment tu as passé à x1²-y1²=b-a.

Oui désolé j'ai commis une grossière erreur je vais essayer de rectifier ><'

Voilà ce que j'ai trouvé
On a P=(x1-y1)(x1+y2)(x2-y1)(x2+y2).
Donc P=[(x1x2+x1y2-y1x2-y1y2)(x1x2-x1y1+y2x2-y1y2)].
Donc P=[(x1y2-y1x2)(-x1y1+y2x2)].
Donc P=[-x1²y2y1+y2²x1x2+y1²x1x2-x2²y1y2].
Donc P=(-x1²+y2²+y1²-x2²).
Donc P=[(y2+y1)²-2y2y1-(x1²+x2²)].
Donc P=[b²-2-((x1+x2)²-2x1x2)].
Donc P=[b²-2-a²+2].
Donc P=b²-a².

L'autre est très difficile et c'est celle dont je cherche la réponse d'après un mois, il faut me confirmer P ou non.
Je vous attends.

Oui P est correcte ^^

Par symétrie on pose :


A=(x1-y1)(x2-y2)(x1+y1)(x2+y2).
A=(x1x2+y1y2 -y1x2-x1y2)(x1x2+y1y2 +y1x2+x1y2)
A=(x1x2+y1y2)²-(y1x2+x1y2)
A= 4-(x1y2+x2y1)²

Après le calcul on trouve :



Puis on termine le calcul ..
Sauf erreur :p

Tu n'a pas le droit de calculer les racines sylphaen.
Car tu ne sait pas si le discriminent est négatif ou positif.
Je te donne l'exemple suivant:
Si a=0.
Quelle sera la solution?
On va trouvet que le discriminent est négatif (-4).
Donc on ne peut pas le mettre dans la racine.
Il faut chercher une autre méthode.

nmo a écrit:

On m'a conseillé de l'écrire ici. le voici:
Soient les équations:
(E): x^2+ax+1=0 et (E'): x^2+bx+1=0.
Et soient x1 et x2 les solutions de (E) et y1 et y2 les solutions de (E').
Calculez en fonction de a et b les produits
P=(x1-y1)(x2-y1)(x1+y2)(x2+y2).
A=(x1-y1)(x2-y2)(x1+y1)(x2+y2).
Bonne chance.

Le discriminant sera strictement positif sinon ca serait contradictoire à l'énoncé

On a l et k les racines de (E'): x^2+bx+1.
Donc: f(E') s'écrit sous forme de: (x-l)(x-k)=x²-xk-lx+lk=x²-x(l+k)+lk
=> l+k=-b ; lk=1 (1)
Méme façon avec (E) : x^2+ax+1 s'écrit sous forme de: (x-f)(x-e)=x²-x(e+f)+ef
=> e+f=-a ; ef=1 (2)
[Remarquez que: (e-k)+(f-l)+(e+k)+(f+l)=(e+f)+(e+f)=-2a]
(l+k)²=b² <=> l²+k²=b²-2 <=> (l-k)²=b²-4=Delta(E')
x1=[-b-(l-k)]/2 et x2=[-b+(l-k)]/2 [Et d'aprés (1) et (2)]
l=x2 et k=x1
Méme façon de (E') <=> (e-f)²=a²-4=Delta(E)
(E) e=x3 , f=x4
=> x1=[-b-V(b²-4)]/2 ; x2=[-b+V(b²-4)]/2
Et: x3=[-a-V(a²-4)]/2 ; x4=[-a+V(a²-4)]/2
Cela te permer de calculer tous les produits en fonction de a et b ou bien calculer la valeur du produit .

Sinon: On peut remarquer que:
eflk=1 <=> e²f²l²k²=1 <=> e²l²=1/k²f²
On a: (e-k)(f-l)(e+k)(f+l)=(e²-k²)(f²-l²)=e²f²-e²l²-k²f²+k²l²=2-(e²l²+k²f²)=2-(k²f²+1/k²f²)=2-((kf+1/kf)²-2)=4-(kf+1/kf)²
Celà facilite les choses pour calculer en fonction de a et b.
...

nmo a écrit:

Tu n'a pas le droit de calculer les racines sylphaen.
Car tu ne sait pas si le discriminent est négatif ou positif.
Je te donne l'exemple suivant:
Si a=0.
Quelle sera la solution?
On va trouvet que le discriminent est négatif (-4).
Donc on ne peut pas le mettre dans la racine.
Il faut chercher une autre méthode.

Bonjour, je suis avec l'avis de Sylphaen.
Elle admet deux solutions (ce qui supprime le cas de Delta=0 <=> x=-b/2a et Delta<0 <=> S=E.V), ncela veut dire que: Delta>0