Si on suppose que pour un certain n il existe un k tel que 3n²+3n+7=k^3 <=>(k-1)(k²+k+1)=3(n²+n+2)
Il est clair que n²+n+2 est pair donc 3(n²+n+2) est divisible par 6 donc (k-1)(k²+k+1) est divisible par 6
on a donc : 2/(k-1)(k²+k+1) et k²+k+1 impair donc 2/k-1 donc k=2k'+1 (k'€N)
donc 6/2k'(4k'²+6k'+3) donc 3/k'(4k'²+6k'+3)
Donc 3/k' ou 3/4k'²+3(2k'+1) => 3/4k'² =>3/k'² =>3/k'
Donc dans les deux cas 3/k' donc k'=3m
Et donc notre k=6m+1
Si maintenant on reviens à l'équation de départ on aura :
n²+n+2=6m(12m²+6m+1)
ce qui nous donne 6/n²+n+2 => 3/n²+n+2 chose qui est impossible, en traitant les cas n=3K ou n=3K+1 ou n=3K+2 on trouve toujours une contradiction.
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