Barycentre et segment d'euler

Démontrer que si O est le centre du cercle circonscrit G le centre de gravité
et H l'hortocentre d'un triangle alors : 3OH = OG ( les vecteurs) en utilisant le barycentre ^^

he lol cest un theoreme du droite d'uler

ah wee!ca figurait parmi les exercices de l'olympiades qu'on a passé dernierement!!
j'ai pas pu le demontrer !!!si quelquun a pu l'resoudre,qu'il poste la soluuuce!!

Soit ABC un triangle non équilatéral, O le centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité et H l'orthocentre.

Pour démontrer l'égalité vectorielle vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) (relation d'Euler), faire un changement de point de vue en transformant l'exercice en « caractériser le point M tel que vect(OM) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) ».

Droite d'Euler


Caractérisation de l'orthocentre

Soit M le point tel que : vect(OM) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC),

d'où vect(OM) − vect(OA) = vect(OB) + vect(OC).
Une relation de Chasles permet d'écrire : vect(AM) = vect(OB) + vect(OC)

et si A’ est le milieu de [BC] le théorème de la médiane donne vect(OB) + vect(OC) = 2vect(OA'),

d'où vect(AM) = 2 vect(OA').

Le vecteur vect(AM) est colinéaire à vect(OA') qui est un vecteur directeur de la médiatrice de [BC]. On en déduit que (AM), parallèle à (OA’), est perpendiculaire à (BC) ; c'est la hauteur (AA1) du triangle.
On montre, de même, que (BM) est aussi la deuxième hauteur (BB1) et on conclut que le point M, intersection de deux hauteurs, est l'orthocentre H du triangle ABC.

En remplaçant M par H on obtient la relation vectorielle vect(AH) = 2 vect(OA') et la relation d'Euler vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC).

La définition vectorielle du centre de gravité permet d'écrire 3vect(OG) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) donc vect(OH) = 3 vect(OG).
Les points O, G et H sont alignés sur une droite dite droite d'Euler et GH = 2 GO (relation d'Euler : G est au tiers de [OH]).