petit énigme

Voila une petit énigme qui m'est tombé dessus ( vous inquiétez pas je ne suis pas blessé ) :

Un roi aprés avoir emprisonné deux hommes pour plusieurs années leurs accorda un souhait chacun aprés les avoir liberer le premier homme dit :
Je veux une piéce d'or pour la premiére année que j'ai passer en prison puis deux piéces pour la deuxiéme année puis 4 pour la troisiéme année et 8 pour la quatriéme année et ainsi de suite jusqu'as son année de libération !
Puis le deuxiéme homme dit :
Moi je veux le double du nombre de piéce d'or que vous donnerais a mon ami pour son année de libération ( juste celle qu'il a eu pour son année de libération pas le double de toutes les piéces ) !!
le roi leurs offri a tout les deux ce qu'il voulais puis il ajouta :
celui qui aura le plus de piéces d'or entre vous sera executé ...
_ montrer que c'est toujours la même personne qui sera executé quelque soi le nombre d'année !! Puis trouvé une facon pour qu'aucun d'entre eux ne soit executé ^^'

Je Sais que mon énigme est un peut chamboulé mais c'est juste que j'ai voulu donné un approche au principe des suites .... Et sachant que cette exercice est destiné au collége vous n'avez pas le droit d'utilisé les regles des suites qu'on étudis en premiére ^^

Premièrement:
Le nombres de pièces d'or que prendra le premier condamné est S.
On a S=1+2+4++8......+2^n tel que n appartient à IN.
Soit S=1+2+2^2+2^3......+2^n.
Donc 2S=2+2^2+2^3+2^4+.....2^(n+1).
Donc 2S-S=2+2^2+2^3+2^4+.....2^(n+1)-[1+2+2^2+2^3......+2^n].
Donc S=2^(n+1)-1.
Le nombres de pièces d'or que prendra le premier condamné est P.
On a P=2*2^n
Soit P=2^(n+1).
Et on a 0>-1.
Donc 2^(n+1)>2^(n+1)-1.
Donc P>S.
Finalement le deuxième condamné sera exécuté quelque soit le nombre d'année de prison.

Oui c'est sa bien joué ^^