Question n°15: Nombres réels, suites

1) Il est facile de montrer que (u_n) est décroissante et à valeurs dans l'intervalle [0,pi/2]. Soit alors u sa limite. On a u€[0,pi/2].

2) Si u est non nulle alors lim (u_n-sin(u_n))=u-sinu=a>0. Alors à partir d'un certain rang : u_n-sin(u_n)>a/2. Par suite,
u_n- u_(n+1)>a/(2(n+1)). Ceci implique que la suite harmonique (1+1/2+...+1/n) serait majorée. Contradiction donc u=0.

3) Le DL(0) de la fonction sin à l'ordre 3 permet de montrer que
1/u²_(n+1) - 1/u²_n ~ 1/3n . Alors u_n~ (1/3ln(n))^(1/2).

Soit (u_n) la suite définie par la donnée de u_0€[0,pi/2] et la relation de récurrence:


Etudier cette suite.