Les Probas

Bonjour
Un message binaire (0 ou 1) transmis sur un canal de communication bruyante est mal reçu avec la probabilité e0 et e1, respectivement. Les erreurs dans des transmissions de symbole différentes sont indépendantes.

(a) Supposons que la source du canal transmet 0 avec la probabilité p et transmet 1 avec la probabilité 1 - p. quelle est la probabilité qu’un symbole aléatoirement choisi soit reçu correctement ?

(B) Supposons que la chaine de symboles 1101 est transmise. Quelle est la probabilité que tous les symboles dans la chaine soient reçus correctement ?

(c) Dans un effort d'améliorer la fiabilité, chaque symbole est transmis trois fois et le symbole reçu est décodé selon la règle majoritaire. Autrement dit, 0 (ou 1) est transmis comme 000 (ou 111, respectivement) et c'est décodé par le récepteur comme 0 (ou 1) si et seulement si la chaine de 3 symboles reçue contient au moins deux 0s (ou 1s, respectivement). Quelle est la probabilité qu’un 0 transmis soit correctement décodé ?

(d) Supposons que la source du canal transmet 0 avec la probabilité p et transmet 1 avec la probabilité 1 - p et que le plan(l'arrangement) de partie (c) est utilisé. Quelle est la probabilité qu’un 0 ait été transmis sachant que la chaine reçue est 101 ?

Merci de votre aide

BJR RAJAA2010 !!

Tu es sûre que c'est de niveau Classes Terminales ??!!
C'est plus de la Théorie de la Fiabilité et du Transfert de l'Information avec Bruit Ambiant .....
J'ai des idées .... Mais , je n'ose pas parceque ce n'est pas de mon domaine de prédilection .....
Si tu me confirmes que celà reste du domaine des Probas toutes simples voire Probas Conditionnelles ....
alors je te ferais des propositions ....

LHASSANE

Bonsoir

Effectivement cet exercice est de mon frère qui est étudiant à UTMB

http://www.utbm.fr/index.php?pge=927

Merci de bien vouloir l'aider.

(A): p(1-e0) + (1-p)(1- e1)

(B): (1- e0)(1- e1)^3

(C): 3 x e0 x (1- e0)²+ (1 - e0)^3 : (Bonus: Montrer que la transmission est plus fiable si e0<0.5)

(D): Bonne question ^^ Je vous laisse le soin d'y penser.

Sauf erreur bien entendu

BJR RAJAA2010 & exodian95 !!

D'abord un message de correction .....

RAJAA2010 a écrit:

Bonjour
Un message binaire (0 ou 1) transmis sur un canal de communication bruyante est BIEN RECU
avec la probabilité (1-e0) et (1-e1), respectivement. Les erreurs dans des transmissions
de symbole différentes sont indépendantes.

(a) Supposons que la source du canal transmet 0 avec la probabilité p et
transmet 1 avec la probabilité 1 - p. quelle est la probabilité qu’un symbole
aléatoirement choisi soit reçu correctement ?

A l'émission par la source , le choix du signal ZERO ou UN étant aléatoire certes MAIS équiprobable ; le choix de ZERO ou UN se fait avec une probabilité égale à 1/2 et donc je verrais bien le résultat d' exodian95 corrigé ainsi :
(1/2).{p.(1-e0)+(1-p).(1-e1)}


(B) Supposons que la chaine de symboles 1101 est transmise. Quelle est la
probabilité que tous les symboles dans la chaine soient reçus correctement ?

Le résultat d' exodian 95 est CORRECT : c'est bien (1-e0)(1-e1)^3


(c) Dans un effort d'améliorer la fiabilité, chaque symbole est transmis
trois fois et le symbole reçu est décodé selon la règle majoritaire.
Autrement dit, 0 (ou 1) est transmis comme 000 (ou 111, respectivement)
et c'est décodé par le récepteur comme 0 (ou 1) si et seulement si la chaine
de 3 symboles reçue contient au moins deux 0s (ou 1s, respectivement).
Quelle est la probabilité qu’un 0 transmis soit correctement décodé ?


En fait la Source aurait transmis un ZERO si , à la réception
on obtient l'un des trois résultats suivants 000 ,001 , 010 ou 100 selon le protocole
défini , la probabilié cherchée serait : (1-e0)^3 + 3.(1-e1).(1-e0)^2 .... et
donc une petite erreur chez exodian95 .
Au passage , je ne vois aucune relation entre e0 et e1 ...
et ,en particulier , je ne pense pas que l'on ait e0+e1=1 en tout cas RIEN ne le justifie .

Voilà .... Ma proposition pour la dernière Question suivra ......

LHASSANE

BJR RAJAA2010 & exodian95 !!

Voilà Ma Proposition pour la Question (d) .....

RAJAA2010 a écrit:

Bonjour
Un message binaire (0 ou 1) transmis sur un canal de communication bruyante est BIEN RECU
avec la probabilité (1-e0) et (1-e1), respectivement. Les erreurs dans des transmissions
de symbole différentes sont indépendantes.
..........

(d) Supposons que la source du canal transmet 0 avec la probabilité p
et transmet 1 avec la probabilité 1 - p et que le plan(l'arrangement)
de partie (c) est utilisé. Quelle est la probabilité qu’un 0 ait été transmis
sachant que la chaine reçue est 101 ?

La chaine 101 est reçue donc la machine va décoder,selon le Protocole ,un UN ....
Mais en raison du bruit dans la canal de transmission , il se peut que ce soit un ZERO
( ou plutot la chaine 000 ) qui ait été envoyé ....
On est donc amené à suspecter non pas le ZERO au milieu de la chaine 101 mais plutot les deux UN latéraux ....
L'un de ces deux UN ( ou les deux ) seraient en fait des ERREURS de TRANSMISSION d'un ZERO et la probabilité
cherchée serait alors égale à 2.e0 + (e0)^2=e0.{2+e0}.

J'attends Vos Commentaires ....

Remarques : les choix de p , e0 et e1 devraient etre compatibles ... pour que l'on puisse avoir des valeurs
de Probas entre 0 et 1 ... Ainsi par exemple pour cette Question (d) il faudrait (e0)^2+2.e0-1<=0 ce qui imposerait :
0<=e0<=rac(2)-1 # 0.14

LHASSANE

Bonsoir ODL.
J'ai quelques petites remarques.

Citation :

...le choix du signal ZERO ou UN étant aléatoire certes MAIS équiprobable...

Rien n'assure l'équiprobabilité des 0 et des 1. L'énoncé est clair: p et 1-p sont les probabilités correspondantes.

(D'ailleurs la probabilité dépend du langage et du code utilisé pour la transmission. Aussi du mode de transmission. Et c'est un bon domaine que les élèves des classes prépas auront à confronter dans les examens de SI.)

Citation :

En fait la Source aurait transmis un ZERO si , à la réception
on obtient l'un des trois résultats suivants 000 ,001 , 010 ou 100 selon le protocole
défini , la probabilité cherchée serait : (1-e0)^3 + 3.(1-e1).(1-e0)^2 ....

On peut déceler une petite erreur, en jouant sur e0 et e1: On peut dépasser 1 facilement.
A l'envoi, juste le signal 000 est envoyé, c'est à la réception qu'on peut trouver 000 ,001 , 010 ou 100. On ne peut pas raisonner sur le 1 qui apparait!!
En effet le 1 est un défaut de transmission du zéro, sa probabilité serait ici e0. J'espère que la nuance est claire.
On retrouve alors 3.e0.(1- e0)²+ (1 - e0)^3 (on peut verifier que cette valeur est inférieure à 1, et si e0<0.5 on a un gain sur la qualité de transmission.)

Citation :

La chaine 101 est reçue donc la machine va décoder,selon le Protocole ,un UN ....
Mais en raison du bruit dans la canal de transmission , il se peut que ce soit un ZERO
( ou plutot la chaine 000 ) qui ait été envoyé ....
On est donc amené à suspecter non pas le ZERO au milieu de la chaine 101 mais plutot les deux UN latéraux ....
L'un de ces deux UN ( ou les deux ) seraient en fait des ERREURS de TRANSMISSION d'un ZERO et la probabilité
cherchée serait alors égale à 2.e0 + (e0)^2=e0.{2+e0}.

Je crains que la solution soit plus compliquée que ça.
En fait la réponse serait: p.e0².(1-e0) / ( p.e0².(1-e0) + (1-p).e1.(1-e1)² ). A vous d'y parvenir

sauf erreur ^^

BSR exodian95 !!

Bien Entendu , Tes Remarques sont les Bienvenues .....
Cependant et à propos de la question a)

<< a) Supposons que la source du canal transmet 0 avec la probabilité p et transmet 1 avec la probabilité 1 - p. quelle est la probabilité qu’un symbole aléatoirement choisi soit reçu correctement ? >>

La question me semble CLAIRE : la source envoie UN SYMBOLE c'est à dire un 0 ou un 1 ...... Il ne s'agit pas d'envoyer toute une chaine par exemple 01110010 ou la suite de 0 et 1 est aléatoirement répartie !!!
Donc au départ , on ne sait pas si c'est un UN ou un ZERO qui est expédié , c'est pour celà que ton résultat devrait etre pondéré par le facteur (1/2) .


Pour le reste de tes propositions ..... celà m'amène à penser que ces problèmes restent complexes ..... Déjà les simples problèmes de Probas ne sont pas souvent faciles à MODELISER alors quand vient s'AJOUTER dedans du BRUIT de FOND , celà se complique davantage ... Ta dernière FORMULE me fait penser que tu as utilisé les Probas Conditionnelles ??!!!

Mon Intervention dans ce Topic relève de la Simple Curiosité Intéllectuelle et non d'un Spécialiste de ces Questions !!

Allé , Portes-Toi Bien et Bonne Continuation dans Ton Cursus à l'EHTP !! C'est la Top du Maroc ( avant l'EMI .... ) .

LHASSANE