Olympiades nationales 2007 DEV1-EX3 [Terminale]

Il y a exactement 3^n mots distincts de longueur n formés en utilisant uniquement les trois lettres a,b,c.

Soit T_n la suite définie par T_n=3^n-S_n. On remarque immédiatement que T_n vaut le nombre de mots de longueur n formés en utilisant uniquement les trois lettres a,b,c et en se restreingant à un nombre impair de lettres a.

Le bon sens veut que S_n=2*S_{n-1}+T_{n-1}, puisque un mot de longeur n est construit avec un mot de longueur n-1 suivit d'une lettre.

Dans ce cas, on a même S_n=S_{n-1}+3^{n-1}=S_{n-2}+3^{n-2}+3^{n-1}=...=S_1+3+3²+3³+...+3^{n-1}=2+3+3²+3³+...+3^{n-1}=1+(-1+3^n)/(-1+3)=(1+3^n)/2.

le grand probleme c est que notre prof de maths m a privé de deux exercices en nous obligeant de suivre un programme je sais pas d où il l a emporté tt simplement on ne fera les suites en classe qu en mois de decembre.

on a passé cet epreuve aujourdhui meme , jai fai cet exercice avec une methode que j'essayerai de poster le plu tot possible , j'espere bien que c'est pas faux

pour ephemere, ton résultat final ne marche pas pour n=1 !
voila une autre méthode plus directe :
calculons le nombre de mots de longueur n qui contiennent exactement 2k éléments :
on a C(2k,n) pour placer les a et 2^(n-2k) pour placer les lettres b et c
donc le nombre C(2k,n)2^(n-2k)
donc le nombre total est : somme (1<=2k<=n ; C(2k,n)2^(n-2k))
en utilisant les binomes de newton , on trouve que :
cette somme est égale à : (3^n-2^(n+1)+1)/2

bel_jad5 a écrit:

pour ephemere, ton résultat final ne marche pas pour n=1 !
voila une autre méthode plus directe :
calculons le nombre de mots de longueur n qui contiennent exactement 2k éléments :
on a C(2k,n) pour placer les a et 2^(n-2k) pour placer les lettres b et c
donc le nombre C(2k,n)2^(n-2k)
donc le nombre total est : somme (1<=2k<=n ; C(2k,n)2^(n-2k))
en utilisant les binomes de newton , on trouve que :
cette somme est égale à : (3^n-2^(n+1)+1)/2

j'ai commencé de meme , sauf que pour placer les b et les c jai trouvé:[somme_{i de 0 à n-2k} de C(i,n-2k) ]

c juste puisque [somme_{i de 0 à n-2k} de C(i,n-2k) ]=2^(n-2k) ( c est le binome de newton (1+x)^n pour x=1 )

t été dans le bon chemin !

Dieu mercii!!!
c que l'année derniere on n'a fait qu'un petit aperçu de la lecon de denomrement;;mais bon

bel_jad5 a écrit:
donc le nombre total est : somme (1<=2k<=n ; C(2k,n)2^(n-2k))

0 est un nombre pair donc 0 inf ou =2k inf ou =n

pour vietnam2007: j ai pensé à la même chose qd jai fai la solution, j ai voulu faire les deux cas mais a la fin je me suis dit qu un tel mot doit d abord contenir des a et c après que ce nombre doit etre pair

je suis tout a fait d accord que l énoncé est mal rédiger

bel_jad5 a écrit:

pour ephemere, ton résultat final ne marche pas pour n=1 !

Bien sûr que si, puisque un mot sans aucun a est un mot ayant un nombre pair de a (en effet, 0 est un nombe pair). Tu n'aurais aps oublié ceux-là ?

Pour n=1, je trouve 2. Or, les mots b et c sont les deux mots en question.

Citation :

j ai pensé à la même chose qd jai fai la solution, j ai voulu faire les deux cas mais a la fin je me suis dit qu un tel mot doit d abord contenir des a et c après que ce nombre doit etre pair

en tout cas , le problème est mal posé !

bel_jad5 a écrit:

en tout cas , le problème est mal posé !

Si j'avais participé au concours, j'aurais en effet posé la question pour être certain d'être sur la même longueur d'onde que celui qui a rédigé l'énoncé.