le 3éme test!!

salut les amis,alors comment vous avez passé les olympiades d'aujourd'hui?

svp salimt;poster le test svp

je ne sais pas comment faire!!

ecrit le;utilisé http://www.codecogs.com/

svp salimt lah ihafdak

oui il faut le poster!

exercice 1
on considère la suite
A0= 2009 et A(n+1)=(An^2)/(An+1)
Montrer que pour tout n£[0,1005] : E(An)=2009-n
exercice 2:
a et b deux réels non tous les deux strictement positifs
M que: 4(a^2-a+1)(b^2-b+1)>=3[(ab)^2-ab+1)]
exercice3
par combien de cercles de rayon 1 peut on recouvrir un cercle de rayon 2?
exercice4
ABC est un triangle .D E F sont les pieds des hauteurs issus de A B C.D1est la symétrique à D par rapport à (ac)
M q: D1 E et F sont alignés

merci salimt

L'inégalité proposée dans le second exercice ne semble pas être très juste d'après Wolfram Alpha ; elle n'est vérifiée que dans la partie colorée en bleue :

Exercice 1
il est si simple de démontrer par réccurence que :

ainsi on a :

alors on doit montrer que :

une fois démontrée...on donc:

Exercice2:
pour a et b sont de différents signes....
l'inégalité est équivalnete à :

ce qui est clairement vrai car ab≤0
si a≤0 et b≤0...on a donc:

ainsi il suffit de démontrer que:

ce qui est clairement vrai car ab≥0
Exo4:
et donc j'ai essayé de vous poster le schéma mais en vain....
voici la solution du dernier exo:
on a donc :

en appliquant El Kashi on a :

d'une autre part on a :


-------------------------------------------------------------------------
D' et le symetrique de D par rapport à (AC) et E∈(AC)===>ED'=ED
C∈(AC)===>CD'=CD ainsi les triangles DEC et D'EC sont égaux
de (1) et (3) on a donc:

d'où E, F et D' sont alignés....
sauf erreur....

majdouline a écrit:

Or,

ce qui est vrai....

Un contre-exemple à l'inégalité proposée est : (4,4).

salimt a écrit:

exercice 1
on considère la suite
A0= 2009 et A(n+1)=(An^2)/(An+1)
Montrer que pour tout n£[0,1005] : E(An)=2009-n
exercice 2:
a et b deux réels non tous les deux strictement positifs
M que: 4(a^2-a+1)(b^2-b+1)>=3[(ab)^2-ab+1)]
exercice3
par combien de cercles de rayon 1 peut on recouvrir un cercle de rayon 2?
exercice4
ABC est un triangle .D E F sont les pieds des hauteurs issus de A B C.D1est la symétrique à D par rapport à (ac)
M q: D1 E et F sont alignés

Je propose mes solutions :

Exercice 1 :

Il est clair que a_(n+1) - a_(n) = -a_n/( a_n+1 ),il est facile de déduire que a_n = a_0 - ( a_(n-1)/( a_(n-1)+1 ) +... + a_0/( a_0+1 ) ) pour tout n de IN* .En remarquant que 1 - 1/a_k < a_k/( a_k + 1 ) < 1 pour tout k £ {1,2,...,n},on déduit facilement que 2009 - n < a_n < 2009 - n + ( 1/a_0 + 1/a_1 + ... + 1/a_(n-1) ) pour tout n >= 1.Pour prouver que pour tout n £ {0,1,...,1005} : E(a_n)=2009-n,il suffit de prouver alors que 1/a_0 + 1/a_1 + ... + 1/a_1004 < 1,or on a dèja prouvé que a_k > 2009 - k,alors :
1/a_0+1/a_1 + ... + 1/a_1004 < 1/2009 + 1/2008 + 1/2007 + ... + 1/1005 < 1/1005 + 1/1005 + 1/1005 + ... + 1/1005 = 1,ce qui achève la preuve.

Exercice 2:

En posont a+b=s et ab=p,l'inégalité devient p²+4s²+1 >= p+4s+4ps.Si a =< 0 et b =< 0,alors p+4s+4ps =< p < p²+4s²+1.Si a et b sont différents de signe,alors p =< 0 et remarquer que l'inégalité se réecrit comme : 4s² - 4s(p+1) + (p²-p+1) >= 0,le discriminant de cette expres​sion( = 48p ) est négatif,d'ou la conclusion.

Exercice 3:

L'exercice n'est pas très clair,comment doit se faire ce recouvrement ? Bon, si j'ai bien compris alors il suffit de remarquer que la surface de 4cercles de rayon 1 depasse une de celle avec rayon 2,alors il suffit d'étudier 4cas... .Enonçé incompréhensible,veuiller la reformuler svp !!

Exercice 4:

Soit D le point d'intersection du perpendiculaire à AC passant par E et AC,I est l'orthocentre du triangle ABC et H' est le point d'intersection de ED et GF.On va prouver que H=H'.Il est claire que le quadrilatère AFIG est cyclique (car AFI + AGI = 180degrés (on travaille sur les angles)),alors DFH'=AFG=AIG=EIC=90-GCB=ABC.De la meme façon on va prouver que EFD=ABC.Alors tan(H'FD)=tan(EFD)=tan(ABC)=DH'/DF=DE/DF.On déduit que DH'=DE et EDC=90degrés,d'ou H=H',ce qui nous permet de conclure.

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PS : je pense que la solution du premier exercice dans le post en dessus est fausse,puisque l'utilisation de l'absurde consiste à supposer l'existence de deux indices k et k+1 tel que E( a_(k+1) ) = E( a_k ),puis trouver une contradiction,et non pas supposer que l'expression est vraie pour tout n de IN pour aboutir à la contradiction.

MohE a écrit:

je vois que vous aviez oubliez le fait que a et b ne sont pas tous les deux positifs, ce qui implique que ton contre-exemple est inssufisant pour prouver la fausté du problème.

D'accord, j'ai mal lu les conditions sur a et b.

MohE a écrit:

je vois que vous aviez oubliez le fait que a et b ne sont pas tous les deux positifs, ce qui implique que ton contre-exemple est inssufisant pour prouver la fausté du problem, d'une autre coté j'ai deja prouver cette inegos, il existe une solution , et je suis sur que toi et majdouline, vous êtes capable de la trouver.

mais je crois que c'est déja fait... regarde la solution de l'inego que j'ai proposée....veuillez voir mon message précèdent!!!
sauf erreur...

Ta solution est bien élégante, majdouline. Bien.

MohE a écrit:

majdouline a écrit:

MohE a écrit:

je vois que vous aviez oubliez le fait que a et b ne sont pas tous les deux positifs, ce qui implique que ton contre-exemple est inssufisant pour prouver la fausté du problem, d'une autre coté j'ai deja prouver cette inegos, il existe une solution , et je suis sur que toi et majdouline, vous êtes capable de la trouver.

mais je crois que c'est déja fait... regarde la solution de l'inego que j'ai proposée....veuillez voir mon message précèdent!!!
sauf erreur...

mmm... j'en doute, lorsque j'ai vu ton poste, il y etait ecris qu'un contre exemple a ete trouvé, et d'après le poste qui le suit, selui de Dijkschneir, j'ai deduit que tu avais proposé une solution fausse, alors... En tout cas je te félicite d'avoir remarqué une tels identité.

oui au début....comme c'est indiqué dans mon post j'ai cru qu'il s'agit de réels positifs...et regarde ton post c'est après 6 min de ma dernière edition de mon message....

et donc je viens encore d'éditer mon avant dernier message...pour poster la solution du dernier exo....

en fait pour le troisième :on a un cercle de rayon 2,et on veut le couvrir entièrement par des cercles de rayon 1 je pense que l'énoncé est clair!!

salimt a écrit:

en fait pour le troisième :on a un cercle de rayon 2,et on veut le couvrir entièrement par des cercles de rayon 1 je pense que l'énoncé est clair!!

On souhaite trouver le nombre minimal de ces cercles de rayon 1 ? Est-ce que ces cercles de rayon 1 peuvent dépasser le bords extérieurs du cercle de rayon 2 ?

oué oué ils peuvent dépasser les bornes du cercle du rayon 2
jé trouvé 8 cercles c le meme cas pour vous?