Spé math pour lundi

Bonjour, pourriez vous m'aider????

Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x;y) tels que: x^3-y^3=271

laulauo a écrit:

Bonjour, pourriez vous m'aider????

Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x;y) tels que: x^3-y^3=271

BSR Melle !!

Vous pouvez écrire :
x^3-y^3={x-y).{x^2+xy+y^2}
Puisque 271 est un entier PREMIER je crois , vous aurez à résoudre plusieurs systèmes en partant du fait que , au signe près :
x-y vaut 1 ou 279
lorsque
x^2+xy+y^2 vaudra 279 ou 1

Bon Courage .... LHASSANE

j'ai trouvé que (x-y)(x²+xy+y²)
donc:
x-y=1 et x²+xy+y²=271
après j'ai commencé par faire x=1+y, j'ai remplacé dans l'autre équation et je trouve 3y²+3y+1=271
3y²+y=90
et là je suis bloqué

BSR laulauo !!

Tout d'abord , tu as fait une petite erreur : c'est y²+y=90 que tu devras résoudre en nombre entier ...

Je me pose la question suivante :
est ce que tu sais résoudre l'équation du second degré à l'aide du DELTA ???
Parceque y²+y-90=0 en est une ....

LHASSANE

Sinon , c'est simple !!
y²+y-90=0 s'écrit y.(y+1)=90 dont la seule solution entière est y=9 .

j'ai trouvé comme solution -10 et 9 mais -10^3-(-9)^3=-271

laulauo a écrit:

j'ai trouvé que (x-y)(x²+xy+y²)
donc:
x-y=1 et x²+xy+y²=271
après j'ai commencé par faire x=1+y, j'ai remplacé dans l'autre équation et je trouve 3y²+3y+1=271
3y²+y=90
et là je suis bloqué

En fait tu résouds y²+y=90 qui te donnera y=9 puis x=1+y=10
On a bien x^3-y^3=(10)^3-(9)^3=1000-729=271

Allé à Toi de continuer !!!

OK merci beaucoup

Voici une solution plus détaillée:
On a x^3-y^3=271.
Donc (x-y)(x^2+xy+y^2)=271.
Et on sait que 271 est un nombre premier.
Donc, il a deux diviseurs 1 et 271.
Donc on résoud quatre systèmes:
Le premier système:
x-y=271 et x^2+xy+y^2=1.
Donc:
x-y=271 et x^2+xy+2xy-2xy+y^2=1.
Donc:
x-y=271 et (x-y)^2+3xy=1.
Donc:
x-y=271 et 271^2+3xy=1.
Donc:
x-y=271 et 73441+3xy=1.
Donc:
x-y=271 et 3xy=-73440.
Donc:
x-y=271 et 3xy=-73440.
Donc:
x-y=271 et xy=-24480.
En posant x=a et -y=b.
Il vient que a+b=271 et ab=24480.
Qui n'est pas réalisé car s^2-4p<0.
Le deuxième système:
x-y=1 et x^2+xy+y^2=271.
Donc:
x-y=1 et x^2+xy+2xy-2xy+y^2=271.
Donc:
x-y=1 et (x-y)^2+3xy=271.
Donc:
x-y=1 et 1^2+3xy=271.
Donc:
x-y=1 et 1+3xy=271.
Donc:
x-y=1 et 3xy=270.
Donc:
x-y=1 et xy=90.
En posant x=a et -y=b.
Il vient que a+b=1 et ab=-90.
Qui est solution de l'équation t^2-t-90=0.
Donc t^2-10t+9t-90=0.
Donc t(t-10)+9(t-10)=0.
Donc (t+9)(t-10)=0.
Donc t+9=0 ou t-10=0.
Donc t=-9 ou t=10.
Donc a=-9 et b=10 ou b=-9 et a=10.
Donc x=-9 et -y=10 ou -y=-9 et x=10.
Donc x=-9 et y=-10 ou y=9 et x=10.
Donc S1={(-9;-10)} et S2={(10;9)}.
Le troisième système:
x-y=-271 et x^2+xy+y^2=-1.
Ce qui est faux car x^2+xy+y^2 est positifs quelque sit x et y de IN.
Le quatrième système:
x-y=-1 et x^2+xy+y^2=-271.
Ce qui est faux car x^2+xy+y^2 est positifs quelque sit x et y de IN.
Donc S={(-9;-10), (10;9)}.
Sauf faute de calcul et de frappe.

Pour terminer ma démonstration:
Posons A=x²+xy+y².
On a A=x²+xy+y².
Donc 2A=2(x²+xy+y²).
Donc 2A=2x²+2xy+2y².
Donc 2A=x²+2xy+y²+x²+y².
Donc 2A=(x+y)²+x²+y².
D'autre part, on (x+y)²>=0, x²>=0, et y²>=0.
Ce qui veut dire (x+y)²+x²+y²>=0.
Soit en résumé 2A>=0.
Finalement A>=0.