Démonstration

salut, est ce que qq peut m'aider, pour montrer par l'absurde que toute fonction périodique et non constante n'admet pas de limite en +00

achraf_djy a écrit:

salut, est ce que qq peut m'aider, pour montrer par l'absurde que toute fonction périodique et non constante n'admet pas de limite en +00

BJR achraf_djy !!

Je passais par là ..... Tout d'abord , on va traduire que f est NON CONSTANTE sur IR ..
Il existera a et b dans IR tels que f(a)<>f(b)
( car si pour tous a et b dans IR on f(a)=f(b) alors f est constante .... )
Celà étant , appelons T >0 une période positive de f et considérons les deux suites suivantes : (un=a+N.T)n et (vn=b+n.T)n
ces deux suites divergent et tendent vers +oo MAIS les suites images par f qui sont (f(un)=f(a))n et (f(vn)=f(b))n convergent toutes les deux vers respectivement f(a) et f(b)

Si tu supposes que f(x) admet une LIMITE L quand x----> +oo alors celà impliquerait nécéssairement que
f(a)=f(b)=L
or on a f(a)<>f(b) donc c'est absurde d'ou .....

LHASSANE

Merci bien pour votre aide!

Salut, hier j'ai pas bien vu, pourqoi lim f(x)=L ===>f(a)=f(b)=L
?

achraf_djy a écrit:

Salut, hier j'ai pas bien vu, pourqoi lim f(x)=L ===>f(a)=f(b)=L
?

BJR achraf_djy !!

Tu as tout à fait raison de soulever cette question ...
Celà résulte de la Propriété suivante :

Si Lim f(x)=L lorsque x------> +oo
ALORS :
Pour toute suite (un)n de Df qui tend vers +oo
alors la suite (f(un))n converge vers L .

et on a appliqué ce résultat pour chacune des deux suites
(un=a+n.T))n et (vn=b+n.T)n
elles tendent toutes les deux vers +oo
et on a f(un)=f(a+n.T)=f(a) et f(vn)=f(b+n.T)=f(b) en raison de la T-périodicité de f DONC :
L=Limf(un)=Limf(vn)=f(a)=f(b) d'ou f(a)=f(b)
et de là l'absurdité ......

LHASSANE

Merci encore une fois mr Lhassane!