Après un dessin élégant, voici ma solution:
On a I le centre du cercle inscrit au triangle ABC.
Donc il est le point d'intersection des bissectrices.
Don [AI) et [BI) et [CI) sont les bissectrices respectifs des angles BAC et ABC et ACB.
On a [AI) est bissectrice de l'angle BAC.
Donc BAI=IAC. (angles)
De même ACI=ICB. (angles)
De même CBI=IBA. (angles)
D'autre part on sait que la somme des mesures d'un triangle vaut 180°.
Donc dans le triangle ABC on a ABC+BCA+CAB=180°. (angles)
Donc BAI+IAC+ACI+ICB+CBI+IBA=180°. (angles)
Donc BAI+BAI+ACI+ACI+ABI+ABI=180°. (angles)
Donc 2BAI+2ACI+2ABI=180°. (angles)
Donc 2(BAI+ACI+ABI)=2*90°. (angles)
Donc BAI+ACI+ABI=90°. (angles) ==>(1)
On a aussi ALI+AIL+IAL=180°. (angles)
Et puisque AIL=90°. (angles) car (LI) est perpendiculaire sur (AI) d'après l'énoncé.
Il s'ensuit que ALI+90°+IAL=180°. (angles)
Donc ALI+IAL=90°. (angles) ==>(*)
Et puisque ALI est un angle exterieur au triangle LIC.
Il vient que LIC+ICL=ALI. (angles)
Donc LIC+ICL+IAL=ALI+IAL. (angles)
Donc LIC+ICL+IAL=90°. (angles) ==>(2)
Et de 1 et 2, on déduit que LIC+ICL+IAL=BAI+ACI+ABI. (angles)
Donc d'après les premières résultats des bissectrices, il s'ensuit que LIC=ABI ou encore LIC=KBI. (angles) ==>(a)
De la même méthode * on prouve que AKI+KAI=90°. (angles)
Donc ALI+IAL=AKI+KAI. (angles)
Donc d'après les premières résultats des bissectrices, il s'ensuit que AKI=ALI ou encore IKB=ILC. (angles) ==>(b)
Et d'après a et b, il résulte que les triangles CLI et BKI sont semblables.
CQFD.
Accueil 
