Question n°16: Polynômes

P admet n racines réelles simples, le théorème de Rolle permet de montrer que P' admet n-1 racine réelles simples exactement. Ainsi , en notant (x_1,...,x_n) les racines de P. On a P'(x_i)P'(x_(i+1))<0 donc Q(x_i)Q(x_(i+1))<0. Cela montre donc que Q a au moins n+1 racines réelles, séparéés par celles de P. Notons, x_0=-00 et x_(n+1)=+00. La fonction x -->P'(x)/P(x) est stricement décroissante sur tous les intervalles ]x_i,x_(i+1)[ comme somme de x--->1/(x-x_i). Ainsi (Q/P)'=P'+(P'/P)'<P' sur chaque intervalle de définition. Si (x'_i,....,x'_(n-1)) sont les racines de P' on peut se placer sur (n+1) intervalles ( faire un dessin) et sur chacun (Q/P) admet au plus un zéro et donc Q aussi

Soit P€IR[X] un polynôme de degré n>0 et possédant exactement n racines distinctes. Posons Q=P²+P'.

Montrer que le nombre des racines de Q est compris entre n-1 et n+1