inegalite trigonometrique

Sujet: inegalite trigonometrique Mar 16 Mar 2010, 11:10

A,B et C sont les angles d'un triangle
demontrez que
cos(A)*cos(B)*cos(C)<=1/8
je donnerai la solution apres.

Sujet: Re: inegalite trigonometrique Mar 16 Mar 2010, 14:32

D'après IAG : $inegalite trigonometrique 71fdaabc4fce6d79f03fd1dc4449465b2f7b2758$
Montrons que $inegalite trigonometrique F244eb2c49d49adbedf3ebe838e185c8235377d5$
Par symétrie des rôles : $inegalite trigonometrique 2cc48fab39ed288ccb297f8ab322d2dce342acb1$
-Pour $inegalite trigonometrique F6f608fd35ae6c72bb3370735e1526b096842c21$
On a alors $inegalite trigonometrique 63707d3c8b52ef3a40f5a650d49bdab71379dc68$
La fonction cos est concave sur $inegalite trigonometrique 83eb1f4f9f49f8fdef69d27c67bf5309bcf5d993$ donc d'après Jensen:
$inegalite trigonometrique 5abbcb1c10f5035006ec2c9604ebdab2286d4604$
-Pour $inegalite trigonometrique C47f02b7324358f4373e570cf2df3774e40597e0$
On a $inegalite trigonometrique F2310a9bfe5379199aa5c02fd9fd8e5a46e93674$
D'après Jensen toujours dans $inegalite trigonometrique 83eb1f4f9f49f8fdef69d27c67bf5309bcf5d993$ :
$inegalite trigonometrique 03b5e5f1d4cdba57158ef4bb5c8617f7a1282c3a$
$inegalite trigonometrique B494e0fa1edda6dd583a97c7cb7e8e0bae7c35e1$
On a dans tous les cas : $inegalite trigonometrique F244eb2c49d49adbedf3ebe838e185c8235377d5$
CQFD

Sujet: Re: inegalite trigonometrique Mar 16 Mar 2010, 20:20

Solution du Problème:
Soit a,b et c les longeures des côtés opposées des angles A,B et C respectivement du triangle ABC.
D'après la formule d'Al-Kashi, a²=b²+c²-2bc.cos(A), alors: cos(A)=(b²+c²-a²)/2bc .
De même pour cos(B) et cos(C), et on trouvera alors que:
cos(A).cos(B).cos(C)=[(a²+b²-c²)(b²+c²-a²)(c²+a²-b²)]/(8a²b²c²) .
En posant x=a² , y=b² et z=c² on trouve qu'il suffit de prouver que:
xyz>=(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)
cas (1): si x,y et z ne sont pas des longueures des côtés d'un triangle, on verifie facilement, que xyz>=0>=(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)
cas (2): si x,y et z sont les longueures des côté d'un triangle, alors il existe des réels non-negative m,n et p, tels que: x=m+n , y=p+m et z=p+n, ainsi l'inégalité devient équiavalente à:
(m+n)(p+m)(p+n)>=8pmn,
On a: m+n>=2V(mn) , p+m>=2V(pm) et n+p>=2V(pn)
en faisant le produit de ce trois en arrive à ce que:
(m+n)(p+m)(n+p)>=8mnp. Ce qui achève la preuve.
Avec égalité si et seulement si m=p=n => x=y=z => a=b=c => A=B=C=60°.

Soit $inegalite trigonometrique 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759$ le demi-périmètre du triangle ; $inegalite trigonometrique 06576556d1ad802f247cad11ae748be47b70cd9c$ le rayon du cercle circonscrit au triangle et $inegalite trigonometrique 4dc7c9ec434ed06502767136789763ec11d2c4b7$ le rayon du cercle inscrit au triangle.
L'identité suivante tue l'exercice :
$inegalite trigonometrique 8c6aad3feb085c38519effb992c6ed7935b18974$
Ainsi :
$inegalite trigonometrique 179ca2ca88ea20863b14de308279f08ede0463f2$
Ce qui découle directement de l'identité :
$inegalite trigonometrique 11596dc42d6a5254e5188d1eb112d9a2644f2b47$
où $inegalite trigonometrique 08a914cde05039694ef0194d9ee79ff9a79dde33$ est le centre du cercle circonscrit au triangle et $inegalite trigonometrique 7cf184f4c67ad58283ecb19349720b0cae756829$ l'orthocentre du triangle.

Nous pouvons démontrer une inégalité plus forte que cette dernière :
On a :
$inegalite trigonometrique 2a277ad8bf55ecc3a414a3db002bbb313427ab16$
Donc :
$inegalite trigonometrique 7c7e2e6d2e1a3464513dbebbb9fa87eb42d93f6c$
On a :
$inegalite trigonometrique 9223836c323f68445366fc53fac930454fc44894$
Ainsi :
$inegalite trigonometrique D0ce3bef1f4bc5a18aeca66b544f8f788ffeb0b3$
Done ! Wink

Tu pouvais simplifier ta solution Oussama en utilisant l'identité :
$inegalite trigonometrique 99ea32cdb03f80e82a59dbf1dcc6bb3ac97b8689$
Et puisque : $inegalite trigonometrique E5f87ba06caea7d10e6b0e778bc384ac31cc114d$ , on obtient :
$inegalite trigonometrique 042c9e61ebde2f78879ff7e9a0193dff3cc6eae9$

King a écrit:: Tu pouvais simplifier ta solution Oussama en utilisant l'identité :
$inegalite trigonometrique 99ea32cdb03f80e82a59dbf1dcc6bb3ac97b8689$
Et puisque : $inegalite trigonometrique E5f87ba06caea7d10e6b0e778bc384ac31cc114d$ , on obtient :
$inegalite trigonometrique 042c9e61ebde2f78879ff7e9a0193dff3cc6eae9$

Merci, c'est très intéréssant en effet, mais puisque la majoration des cos avec 3/2 est très connue, plusieurs méthodes sont possibles.

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