Le lièvre et la tortue:

La piste du champiodrome a la forme suivante : deux arcs formant les trois quarts d'un cercle, raccordés par les deux diagonales d'un carré, ces deux diagonales se coupant en un carrefour :

Au même instant , une tortue et un lièvre partent du carrefour, empruntant deux diagonales différentes menant à deux arcs de cercles différents.
Sur le dessin une flèche pour la tortue, deux flèches pour le lièvre.
Les deux animaux courent à une vitesse constante, et la tortue met 363 secondes pour parcourir la distance parcourue par le lièvre en 1 seconde.
Après 2005 rencontres (dépassements sur la piste ou croisements au carrefour), hormis le départ, le lièvre abandonne.
Combien de fois avait-il croisé la tortue au carrefour?

Voici la S :

Le lièvre se déplace 363 fois plus vite que la tortue. Lorsque la tortue a parcouru une moitié du
circuit, le lièvre a parcouru, lui, 363 moitiés de circuit, c'est-à-dire 181 « tours complets » et un
demi circuit, à l’issue duquel les deux animaux se croisent. Le lièvre a donc dépassé 181 fois la
tortue (à chaque passage sur une boucle de rang pair de son parcours), et l’a croisée une fois au
carrefour : ce premier demi circuit de la tortue génère donc 182 « dépassements ou croisements ».
Au second demi circuit effectué par la tortue, le même raisonnement s’applique (la position initiale
étant comptabilisée dans le décompte précédent), et ainsi de suite. Ainsi, chaque demi circuit
effectué par la tortue génère 182 rencontres, dont 181 dépassements et un seul croisement à la fin.
2005=11´182+3
Donc pour 2005 « croisements ou dépassements », la tortue aura parcouru 11 moitiés de circuit, qui
auront généré 11 croisements.

CQFD

C'est une belle et juste solution.