Arithmétiques et raisonnement par absurde:

Et bain alors ta réponse n'est pas correcte,c'est plutôt X pair et supérieur à 2 qui implique que X n'est pas premier!

W.Elluizi a écrit:

Et bain alors ta réponse n'est pas correcte,c'est plutôt X pair et supérieur à 2 qui implique que X n'est pas premier!

Non W.Elluizi, ce que t'as dis n'a aucun sens ^^
X un nombre premier est un nombre impair si et si que X>2.

PS: Il ne s'agit pas d'une réponse à l'exercise. (Je hate reprendre mes solutions d'antan :d)

Je n'ai pas bien compris ce que tu essai de dire!Reformule!

Contre exemple:9 impaire et supérieur à 2,mais ce n'est tout de meme pas un nombre premier!

nmo a écrit:

Un exercice de plus:
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, tel que a>b.
Démontrez que n'est pas un entier.
Bonne chance.

Indice:

Spoiler:

bonne continuation

nmo a écrit:

Un exercice de plus:
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, tel que a>b.
Démontrez que n'est pas un entier.
Bonne chance.

Ma Solution:





m et m-2 ne peuvent pas étre deux carrés en méme temps Car: Pour tout

Donc il n'existe pas de couple solution pour l'équation du départ. D'ou

petite remarque: on ne peut pas dire que t est de Q que si a et b sont premiers entre eux
et m=c+1

tarask a écrit:

petite remarque: on ne peut pas dire que t est de Q que si a et b sont premiers entre eux
et m=c+1

Oui, bonne remarque. Les légeres fautes de frappe ^^
La solution reste juste.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Un exercice de plus:
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, tel que a>b.
Démontrez que n'est pas un entier.
Bonne chance.

Ma Solution:





m et m-2 ne peuvent pas étre deux carrés en méme temps Car: Pour tout

Donc il n'existe pas de couple solution pour l'équation du départ. D'ou

Je ne parle pas de ce cas-là, mais deux nombres peuvent ne pas être des carrés, mais leur fraction, oui; Et j'insiste sur "pas ce cas-là". Par exemple 18 et 2 ne sont pas des carrés, mais 18/2 = 9 = 3² oui.
Une autre méthode pour résoudre l'exercice.

Supposons que la fraction est vraiment un entier c, et supposons que PGDC(a,b) = 1, sinon on pose a=ka' et b=kb' avec PGDC(a',b') = 1, dans ce cas-là, la démonstration ci-dessous portera sur a' et b'.
On a d'après le début de la démonstration de Marjani:

Donc avec :

Donc soit d=1 ou d=2
Cas numéro 1 : c est pair, donc c+1 et c-1 sont impairs, ce qui donne d=1
La fraction : est donc irréductible, et elle est égal à a²/b², donc : c+1 =a² et c-1=b²
Ce qui donne a²-b²=2 <=> (a-b)(a+b)=2 donc a-b=1 et a+b=2 => 2a=3 contradiction.
Cas numéro 2 : c est impair, donc c+1 et c-1 sont pairs, ce qui donne : d=2
On pose c=2k+1, on trouve que :

Tel que la fraction k+1/k est irréductible (PGDC(k+1,k)=1)
Donc k+1=a² et k=b², ce qui donne a²-b²=1, donc (a-b)(a+b)=1 => a-b=1 et a+b=1 => a=1 et b=0, contradiction avec b non nul.
Dans les deux cas, on tombe sur une contradiction.
Ce qui prouve que l'hypothèse est érronée : la fraction donnée n'est pas un entier.

Très pertinente ta remarque..

oussama1305 a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Un exercice de plus:
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, tel que a>b.
Démontrez que n'est pas un entier.
Bonne chance.

Ma Solution:





m et m-2 ne peuvent pas étre deux carrés en méme temps Car: Pour tout

Donc il n'existe pas de couple solution pour l'équation du départ. D'ou

Je ne parle pas de ce cas-là, mais deux nombres peuvent ne pas être des carrés, mais leur fraction, oui; Et j'insiste sur "pas ce cas-là". Par exemple 18 et 2 ne sont pas des carrés, mais 18/2 = 9 = 3² oui.

J'ai pas lu ce qui suit la remarque... Car m/(m-2) est un entier si et si que m=3 ou m=4 dans les deux cas, m/(m-2) ne donne pas de carré.

A trés bientot ^^

M.Marjani a écrit:

oussama1305 a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Un exercice de plus:
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, tel que a>b.
Démontrez que n'est pas un entier.
Bonne chance.

Ma Solution:





m et m-2 ne peuvent pas étre deux carrés en méme temps Car: Pour tout

Donc il n'existe pas de couple solution pour l'équation du départ. D'ou

Je ne parle pas de ce cas-là, mais deux nombres peuvent ne pas être des carrés, mais leur fraction, oui; Et j'insiste sur "pas ce cas-là". Par exemple 18 et 2 ne sont pas des carrés, mais 18/2 = 9 = 3² oui.
Une autre méthode pour résoudre l'exercice.

Supposons que la fraction est vraiment un entier c, et supposons que PGDC(a,b) = 1, sinon on pose a=ka' et b=kb' avec PGDC(a',b') = 1, dans ce cas-là, la démonstration ci-dessous portera sur a' et b'.
On a d'après le début de la démonstration de Marjani:

Donc avec :

Donc soit d=1 ou d=2
Cas numéro 1 : c est pair, donc c+1 et c-1 sont impairs, ce qui donne d=1
La fraction : est donc irréductible, et elle est égal à a²/b², donc : c+1 =a² et c-1=b²
Ce qui donne a²-b²=2 <=> (a-b)(a+b)=2 donc a-b=1 et a+b=2 => 2a=3 contradiction.
Cas numéro 2 : c est impair, donc c+1 et c-1 sont pairs, ce qui donne : d=2
On pose c=2k+1, on trouve que :

Tel que la fraction k+1/k est irréductible (PGDC(k+1,k)=1)
Donc k+1=a² et k=b², ce qui donne a²-b²=1, donc (a-b)(a+b)=1 => a-b=1 et a+b=1 => a=1 et b=0, contradiction avec b non nul.
Dans les deux cas, on tombe sur une contradiction.
Ce qui prouve que l'hypothèse est érronée : la fraction donnée n'est pas un entier.

J'ai pas lu... Mais m/(m-2) est un entier si et si que m=3 ou m=4 dans les deux cas, ils ne donnent pas de carré.

A trés bientot ^^

Il faut que tu le fasses parce que comme a dit Othman c'est une remarque très pertinente et qui va surement t'aider dans d'autres exercices

Si je peux me permettre, quelle remarque au juste?

Citation :

Je ne parle pas de ce cas-là, mais deux nombres peuvent ne pas être des carrés, mais leur fraction, oui; Et j'insiste sur "pas ce cas-là". Par exemple 18 et 2 ne sont pas des carrés, mais 18/2 = 9 = 3² oui.

oussama1305 a écrit:

Si je peux me permettre, quelle remarque au juste?

La méme question que je veux savoir aprés lire ce qui suit du methode de Oussama.

EDIT:

Othmann a écrit:

Je ne parle pas de ce cas-là, mais deux nombres peuvent ne pas être des carrés, mais leur fraction, oui; Et j'insiste sur "pas ce cas-là". Par exemple 18 et 2 ne sont pas des carrés, mais 18/2 = 9 = 3² oui.

Merçi de lire:

M.Marjani a écrit:

m/(m-2) est un entier si et si que m=3 ou m=4 dans les deux cas, m/(m-2) ne donne pas de carré.

A trés bientot ^^