pour les élèves de la deuxième année du collège

salut
j'ai un petit exercice pour les élèves de la deuxième année du collège:
a et b et c sont des nombres positifs.
a/ prouvez que: a²+b²≥2ab
b/ prouvez que: a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)≥6abc

Personne ne répond c'est facile quand meme

est ce que tu étudies à la deuxième année du collège??

Non

Ce n'est pas façile du tout pour un huitiéme Me Azerty.

1/ a²+b²≥2ab
Donc: a²+b²-2ab>=0
(a-b)²>=0
Un carré est toujours positif.
Ce qui est juste.

2/ Voiçi une façile methode:
On veut démontrer a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)≥6abc
---------------------------------------------------
a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)
=a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b
=b(a²+bc+c²)+a(ac+b²+c²)>=b(2ac+bc)+a(2bc+ac) , [parce que a²+c²>=2ac d'aprés la premiére question]
Et on a: b(2ac+bc)+a(2bc+ac)
=2abc+b²c+2abc+a²c
=4abc+c(a²+b²)
=4abc+2abc
=6abc

Je vais te répondre d'une autre manière:
On a a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)=a²b+a²c+b²c+b²a+c²a+c²b.
Donc a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)=b(a²+c²)+c(a²+b²)+a(b²+c²).
Utilisons la première question:
On a a²+c²>=2ac.
Donc b(a²+c²)>=2abc.
De même c(a²+b²)>=2abc.
Et a(b²+c²)>=2abc.
En sommant b(a²+c²)+c(a²+b²)+a(b²+c²)>=2abc+2abc+2abc.
Donc a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)>=6abc.
CQFD.

on ne commence pas par le résultat

L-W-P a écrit:

on ne commence pas par le résultat

non on peut!! tu vas etudier ça l'année prochaine dans le cour de la logique