- Math=life a écrit:
Soit donc l'équation a^2+b^2=k(ab+1) avec a,b dans Z
Il est facile de voir que l'on peut se contenter de considérer a,b positifs ou nuls en étudiant les deux équations :
a^2+b^2=k(ab+1) avec a,b,k entiers positifs ou nuls
a^2+b^2=k(ab-1) avec a,b,k entiers positifs ou nuls
1) étude de a^2+b^2=k(ab+1) avec a,b,k entiers positifs ou nuls
===============================================================
1.1) Supposons k=0 :
------------------
On obtient la solution (a,b)=(0,0)
1.2) Supposons k=1 :
------------------
L'équation devient a^2+b^2=ab+1 et donc (a-b)^2=1-ab et donc ab=0 ou ab=1, ce qui donne les solutions :
(a,0),(0,a),(1,1)
1.3) Supposons k>1 :
-------------------
Ceci implique a différent de b (sinon on aurait 2a^2=ka^2+k, et donc (k-2)a^2=-k<0, impossible)
Considérons sans perte de généralité a>b
Il est facile de vérifier que (a,b) solution implique (b,kb-a) solution aussi
Nous savons que a>b est solution de P(x)=x^2-kbx+b^2-k=0
P(b)=P((k-1)b)=-k-(k-2)b^2<0 et donc a>(k-1)b et en conséquence kb-a<b
A partir d'une solution a>b, on a donc fabriqué une nouvelle solution b>kb-a plus petite.
Ce processus ne peut s'arrêter que lorsque kb-a devient négatif
Dans ce cas, le fait que (b,kb-a) soit solution implique b=0 et k=a^2
k=u^2 est donc forcément un carré parfait et toutes les solutions sont obtenues à partir de (u,0) en appliquant la transformation :
(a,b)-->(au^2-b,a)
On peut expliciter mieux ces solutions en disant que ce sont les couples (x_{n+1},x_n) de la suite :
x_0=0
x_1=u
x_{n+2}=u^2x_{n+1}-x_n
et donc x_n=u(r1^n-r2^n)/(r1-r2) où r1 et r2 sont les deux racines de x^2-u^2x+1=0
2) étude de a^2+b^2=k(ab-1) avec a,b,k entiers positifs ou nuls
===============================================================
2.1) Supposons k=0 :
-------------------
On obtient la solution (a,b)=(0,0)
2.2) Supposons k=1 :
-------------------
L'équation devient a^2+b^2=ab-1 et donc (a-b)^2=-1-ab, impossible
2.3) Supposons k>1 :
-------------------
Ceci implique a différent de b (un petit peu plus compliqué que en 1.3, mais facile quand même)
Supposons sans perte de généralité a>b
Il est facile dans ce cas aussi de vérifier que (a,b) solution implique (b,kb-a) solution aussi
Nous savons que a>b est solution de P(x)=x^2-kbx+b^2+k=0
Supposons b>1
P(b)=P((k-1)b)=k-(k-2)b^2<0 et donc a>(k-1)b et en conséquence kb-a<b
A partir d'une solution a>b, on a donc fabriqué une nouvelle solution b>kb-a plus petite.
Ce processus ne peut s'arrêter que lorsque kb-a devient <=1
Dans ce cas, le fait que (b,kb-a) soit solution implique kb-a=1 et l'équation est b^2+1=k(b-1)
Donc b-1 divise b^2+1, donc b-1|b^2+1-(b^2-1)=2 et donc b=2 ou 3 (puisque b>1) et k=5
La seule solution est donc k=5 et toutes les solutions sont obtenues à partir de (2,1) et de (3,1) en appliquant la transformation :
(a,b)-->(5a-b,a)
On peut expliciter mieux ces solutions en disant que ce sont les couples (x_{n+1},x_n) et (y_{n+1},y_n) des suites :
x_0=1
x_1=2
x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n
et donc x_n=((2-r2)r1^n-(2-r1)r2^n)/(r1-r2) où r1 et r2 sont les deux racines de x^2-5x+1=0
y_0=1
y_1=3
y_{n+2}=5y_{n+1}-y_n
et donc y_n=((3-r2)r1^n-(3-r1)r2^n)/(r1-r2) où r1 et r2 sont les deux racines de x^2-5x+1=0
3) Synthèse des solutions
=========================
3.1) remarque préliminaire
--------------------------
(a,b) solution positive ou nulle de a^2+b^2=k(ab+1) donne (a,b) et (-a,-b) solutions entières de a^2+b^2=k(ab+1)
(a,b) solution positive ou nulle de a^2+b^2=k(ab-1) donne (a,-b) et (-a,b) solutions entières de a^2+b^2=(-k)(ab+1)
3.2) explicitation des solutions par séquences
----------------------------------------------
Les solutions sont donc :
Toutes les solutions obtenues à partir de (u,0), u entier relatif, en appliquant la transformation : (a,b)-->(au^2-b,a)
Toutes les solutions obtenues à partir de (2,-1) en appliquant la transformation : (a,b)-->(5a+b,-a)
Toutes les solutions obtenues à partir de (-2,1) en appliquant la transformation : (a,b)-->(5a+b,-a)
Toutes les solutions obtenues à partir de (3,-1) en appliquant la transformation : (a,b)-->(5a+b,-a)
Toutes les solutions obtenues à partir de (-3,1) en appliquant la transformation : (a,b)-->(5a+b,-a)
et bien sûr les symétriques
3.3 Explicitation des solutions par formes closes
-------------------------------------------------
Pour tout entier relatif u et tout entier positif ou nul n :
Soient r1 et r2 les deux racines de x^2-u^2x+1=0.
Solutions : (u(r1^(n+1)-r2^(n+1))/(r1-r2),u(r1^n-r2^n)/(r1-r2))
Pour tout entier positif ou nul n
Soient r1 et r2 les deux racines de x^2-5x+1=0.
Solutions : (((2-r2)r1^(n+1)-(2-r1)r2^(n+1))/(r1-r2),((2-r2)r1^n-(2-r1)r2^n)/(r2-r1))
Solutions : (((2-r2)r1^(n+1)-(2-r1)r2^(n+1))/(r2-r1),((2-r2)r1^n-(2-r1)r2^n)/(r1-r2))
Solutions : (((3-r2)r1^(n+1)-(3-r1)r2^(n+1))/(r1-r2),((3-r2)r1^n-(3-r1)r2^n)/(r2-r1))
Solutions : (((3-r2)r1^(n+1)-(3-r1)r2^(n+1))/(r2-r1),((3-r2)r1^n-(3-r1)r2^n)/(r1-r2))
et bien sûr les symétriques
Accueil 
