Facile à résoudre

Résoudre dans C (ensemble des nombres complexes)
(1+z)^2n=(1-z)^2n

slt a tout le monde
je vois c'est classique

slt
fais ((1+z)²/(1-z)²)*n=1 et puis apllique la propritet de w*n=1
et c'est finit

cherif119 a écrit:

slt
fais ((1+z)²/(1-z)²)*n=1 et puis apllique la propritet de w*n=1
et c'est finit

Je veux les réponses

voilà une sollution que je proposes :

1/ Pour z = 1 on a : ( 1+1)^2n = 0^2n <===> 2^(2n) = 0
impossible pour tout n de IN donc 1 n'est pas une sollution .

2/ Pour z = -1 on a : 0^2n = ( -1-1)^2n <===> 0 = -2^(2n)
impossible pour tout n de IN donc -i n'est pas une sollution .

3/ soit z de C-{1,-1} :
on a : (z+1)^2n = (z-1)^2n
<==> (z+1/z-1)^2n = 1
<==> (z+1/z-1) = ei(2k*pi/2n) , k appartient à {0,..., 2n-1 }
<==> z+1 = z*ei(2k*pi/2n) - * ei(2k*pi/2n) , k appartient à {0,..., n-1 }
<==> z(1-ei(k*pi/2) ) = - ei(k*pi/n) - 1 , k appartient à {0,..., n-1 }
<==> z(1-ei(k*pi/n) ) = - (1+ei(k*pi/n) )
i) pour k = 0 on a :
0 = -2 impossible dans C alors le cas k = 0 n'est pas une sollution

ii) pour k different de 0 :

<==> z = - [ ( 1+ei(k*pi/n) ) / (1-ei(k*pi/n)) ]

et on a pour tout x de IR : 1+eix = 2cos(x/2) *ei(x/2) et 1-eix = -2i sin(x/2) *ei(x/2)
donc : (1+eix)/(1-eix) = (1/-i) * 1/tan(x/2) = i tan( pi/2 - x/2 )


alors : (z+i)^n = (z-i)^n <==> z = i*tan( pi/2 - k*pi/2n ) , n appartient à {1,..., 2n-1 }
<==> z = i*tan [ (n-k)/2n )*pi ] , k appartient à {1,..., 2n-1 }

Alors l'ensemble des sollutions S de l'équation (z+i)^n = (z-i)^n dans C est :
S = { i*tan [ (n-k)/2n )*pi ] / k appartient à {1,..., 2n-1 } }

PS si je détailles trop c'est pour faciliter la lecture/comprehension

Oumzil,c'est bien.J'ai lu ta proposition...Ton cheminement est correct mais par endroits,tu as fait des erreurs que j'estime involontaires...Bref,c'est bien

merci , tu croit lé ou l'erreur ?

Oumzil a écrit:

merci , tu croit lé ou l'erreur ?

quand je parle d'erreurs,c'est que par exemple au lieu de k appartient à {0,...,2n+1},tu as mis à des endroits k appartient à {0,...,n+1}... C'est ce que j'appelle erreur involontaire