A resoudre

montrer que: arctan(x)+arctan(1/x)=pi/2

en derivant f(x)=arctg(x) + arctg(1/x) tu trouveras f'(x)=0 donc f(x)=cte l suffit de remplacer par n'importe quelle constante par exemple on a f(x) = cte = f(p/4) = pi/2
donc pr tout x de R*+ arctg(x) + arctg(1/x) = pi/2

belkhayaty a écrit:

en derivant f(x)=arctg(x) + arctg(1/x) tu trouveras f'(x)=0 donc f(x)=cte l suffit de remplacer par n'importe quelle constante par exemple on a f(x) = cte = f(p/4) = pi/2
donc pr tout x de R*+ arctg(x) + arctg(1/x) = pi/2

C'est la solution la plus classique qu'on apporte souvent à cette propriété.
Je te propose de chercher une solution géométrique.
Au plaisir!

En général: artan(x) + arctan(y)= artan(x+y/1-xy)

C-Quark a écrit:

En général: artan(x) + arctan(y)= artan(x+y/1-xy)

Non,pas en général,pour que cela soit vrai , x et y doivent appartenir à [-1,1] .

Tu as raison, sinon on n´aurait pas arctan(x)+arctan(y) inf à pi/2 et sup à -pi/2.

Merci pour la réctification

Salam,
En effet la formule exacte est:
pour tout x de R*, arctan x + arctan 1/x = signe(x)*pi/2.

Pour montrer que Arctan 1/x = Pi/2 -Arctanx il suffit de montrer que tan ( Pi/2 - Arctanx ) = 1/x et -Pi/2< Pi/2 - Arctanx < Pi/2

J'ai pensée à un petit truc sympas pour démontrer ça :
Considérer un rectangle dont l'un des cotés fait x et l'autre fait 1 , dessinner la diagonale , et puis voir que l'un des angles est y=arctan(x) et que celui en face est y'arctan(1/x) et que on a un triangle rectangle , du coup on a
Pi=Pi/2 + y + y' .

darkpseudo a écrit:

J'ai pensée à un petit truc sympas pour démontrer ça :
Considérer un rectangle dont l'un des cotés fait x et l'autre fait 1 , dessinner la diagonale , et puis voir que l'un des angles est y=arctan(x) et que celui en face est y'arctan(1/x) et que on a un triangle rectangle , du coup on a
Pi=Pi/2 + y + y' .

Oui, c'est effectivement la démarche que j'ai en tête.
Bravo pour cette interprétation géométrique.

très bonnne démonstration géométrique!