Pb de Rayons

Je propose cet exercice:

ABC est équilatéral.
Une droite D variable extérieure au triangle mais passant toujours par A .

D coupe [BC) en M , soit r le rayon du cercle inscrit dans ACM.

De l'autre côté de [AB] , soit R le rayon du cercle tangent à: D , (AB) et (BC).

Montrer que : r + R reste constant.

................................................

Bonjour Mr Houssa, vraiment un EX qui mérite de réflichir. Si vous pouvez éclairer cette phrase:

De l'autre côté de [AB] , soit R le rayon du cercle tangent à: D , (AB) et (BC).
Ce que j'ai compris, la figure sera de cette façon:

Bientot ma methode.
Merci.

salam marjani

oui la figure est correcte , le cercle bleu à enlever.

.

Je réponds:
Soit O le centre du cercle dont le rayon est r, I celui du cercle dont le rayon est R.
Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
Soit O' et I' les projetés orthogonals de O et I respectivement sur (BC).
Soit P le point de (AH) tel que HP=r.==>(a)
Au travail:
Posons AB=BC=CA=x.
On a II'H=90°. (angle)
Donc II'P+PI'H=90°. (angles) ==>(1)
D'autre part, on a PHI est un triangle rectangle en H.
Donc HPI'+PI'H=90°. (angles) ==>(2)
De 1 et 2, on conclut que HPI'=PI'I. (angles)
D'autre part, on a HPI'+I'PA=180°. (angles)
Donc PI'I+I'PA=180°. (angles)
Il s'ensuit que II'PA est un parallélogramme.
Donc I'I=PA.
Donc PA=R.==>(b)
De a et b, On a R+r=HP+PA.
Donc R+r=AH.
AH n'est pas mentionné dans l'énoncé.
Calculons-le en fonction de x.
On a AHC un triangle rectangle en H.
Donc selon pytagore, on a AH²+HC²=CA².
Donc AH²+(a/2)²=a².
Donc AH+a²/4=a².
Donc AH²=3a²/4.
Donc AH=(aV3)/2.
Soit en résumé, R+r=(aV3)/2.
Donc r+R reste constant.
Sauf erreur.

La figure:


-----------------------------------------------------------------------------------
OG=R , o'G'=r ,Alpha l'angle qui est construit a partir de (AM) coupant (MB).
-----------------------------------------------------------------------------------

On a: (OG) _|_ (AM) et (o'G') _|_ (OG) <=> (o'G') // (OG) (1).
D'aprés (1) on peut donc appliquer Thalés: MG'/MG=2OG/2o'G'=k. (2)
=> R/r=k (A).
Puisque: Tan(Alpha)=r/MG'=R/MG <=> r=[Tan(Alpha)]*MG' et: R=Tan(Alpha)*MG (B).
En utilisant (B) on trouve que: R+r=[Tan(Alpha)]*(MG+MG').
Et d'aprés (A) et (2) on trouve que: R+r=[Tan(Alpha)]*MG*(K+1).
Alpha=<Pi/3 Donc R+r reste constant.

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J'avais encore des methodes looOoOnGue un peu (la figure parle):



L'une d'eux:
Chaque coté du triangle ABC vaut a.
D'aprés pytaghore: h²=a²-d² et: d=a/2 <=> h²=a²-a²/4=3a²/4
Donc: h=V3a/2 (1)
On pose k.R le rayon du cercle inscrit dans ABC: ABC triangle équilatéral <=> k.R=(2/3)a*(V3a)/2
<=> k.R=V3a/3
En utilisant les triangles en vers et en bleu, et en utilisant les projections on trouve Combien vaut R+r en fonction de a.

Merci.

nmo a écrit:

Je réponds:
Soit O le centre du cercle dont le rayon est r, I celui du cercle dont le rayon est R.
Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
Soit O' et I' les projetés orthogonals de O et I respectivement sur (BC).
Soit P le point de (AH) tel que HP=r.==>(a)
Au travail:
Posons AB=BC=CA=x.
On a II'H=90°. (angle)
Donc II'P+PI'H=90°. (angles) ==>(1)
D'autre part, on a PHI est un triangle rectangle en H.
Donc HPI'+PI'H=90°. (angles) ==>(2)
De 1 et 2, on conclut que HPI'=PI'I. (angles)
D'autre part, on a HPI'+I'PA=180°. (angles)
Donc PI'I+I'PA=180°. (angles)
Il s'ensuit que II'PA est un parallélogramme.
Donc I'I=PA.
Donc PA=R.==>(b)
De a et b, On a R+r=HP+PA.
Donc R+r=AH.
AH n'est pas mentionné dans l'énoncé.
Calculons-le en fonction de x.
On a AHC un triangle rectangle en H.
Donc selon pytagore, on a AH²+HC²=CA².
Donc AH²+(a/2)²=a².Donc AH+a²/4=a².
Donc AH²=3a²/4.
Donc AH=(aV3)/2.
Soit en résumé, R+r=(aV3)/2.
Donc r+R reste constant.
Sauf erreur.

Bonjour,
Belle methode, mais il ya quelques choses a corrigé dans votre solution, Au lieu de PHI, faut écrire PHI'. T'as posé x=AB=AC=BC, à la fin t'as utiliser "a" ?? contradictoire là.

Enfin voilà une petite figure pour ta methode:

Amicalement.

salam

BRAVO pour tous les efforts!!

je vous propose une solution :

considérons la figure de marjani

on ajoute la droite (d) // à (BC) passant par A
------------------------------------------------------------

(OO') coupe (d) en O''

(II') coupe (d) en I''

----------------------------
donc : O'O" = I'I'' = AH = h
------------------------------------
soit a = mesure de OAB
soit b = mesure de CAI

je note t l'extrémité de la demi-droite opposée à [AM)
---------------------
MAB + BAC + CAt = 180°
2a + 60° + 2b = 180°

donc a + b = 60°

====> OAO" = b et IAI" = a
-----------------------------
on a :
r / sin a = OO" / sin b = AO = (r+OO") / (sina + sinb) = h /(sina + sinb)

R / sin b = II'' / sin a = AI = (R + II'')/ (sina + sinb) = h /(sina + sinb)
----------------------------

donc AO = AI

===> r= II'' et R = OO''

CONCLUSION : r + R = h

.........................................

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Je réponds:
Soit O le centre du cercle dont le rayon est r, I celui du cercle dont le rayon est R.
Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
Soit O' et I' les projetés orthogonals de O et I respectivement sur (BC).
Soit P le point de (AH) tel que HP=r.==>(a)
Au travail:
Posons AB=BC=CA=x.
On a II'H=90°. (angle)
Donc II'P+PI'H=90°. (angles) ==>(1)
D'autre part, on a PHI est un triangle rectangle en H.
Donc HPI'+PI'H=90°. (angles) ==>(2)
De 1 et 2, on conclut que HPI'=PI'I. (angles)
D'autre part, on a HPI'+I'PA=180°. (angles)
Donc PI'I+I'PA=180°. (angles)
Il s'ensuit que II'PA est un parallélogramme.
Donc I'I=PA.
Donc PA=R.==>(b)
De a et b, On a R+r=HP+PA.
Donc R+r=AH.
AH n'est pas mentionné dans l'énoncé.
Calculons-le en fonction de x.
On a AHC un triangle rectangle en H.
Donc selon pytagore, on a AH²+HC²=CA².
Donc AH²+(a/2)²=a².Donc AH+a²/4=a².
Donc AH²=3a²/4.
Donc AH=(aV3)/2.
Soit en résumé, R+r=(aV3)/2.
Donc r+R reste constant.
Sauf erreur.

Bonjour,
Belle methode, mais il ya quelques choses a corrigé dans votre solution, Au lieu de PHI, faut écrire PHI'. T'as posé x=AB=AC=BC, à la fin t'as utiliser "a" ?? contradictoire là.

Enfin voilà une petite figure pour ta methode:

Amicalement.

Ce sont de légères fautes de frappes.
Merci pour ces remarques.

J'ajoute que:

Dijkschneier a écrit:

Une paire d'angles consécutifs supplémentaires ne suffit pas pour prouver qu'il s'agit d'un parallélogramme. Il vous faut au moins deux paires.

D'où ma methode est incomplète.

M.Marjani a écrit:

D'aprés (1) on peut donc appliquer Thalés: MG'/MG=2OG/2o'G'=k. (2)

C'est faux.

nmo a écrit:

J'ajoute que:

M.Marjani a écrit:

D'aprés (1) on peut donc appliquer Thalés: MG'/MG=2OG/2o'G'=k. (2)

C'est faux.

Simple de dire faux. Mais la preuve qui est difficile

Pour te prouver la fausseté:
(OG) coupe (BC) en K.
Et (O'G') coupe (BC) en K'.
On a OK#2OG.
Et O'K'#2O'G'.
Amicalement.

nmo a écrit:

Pour te prouver la fausseté:
(OG) coupe (BC) en K.
Et (O'G') coupe (BC) en K'.
On a OK#2OG.
Et O'K'#2O'G'.
Amicalement.

Thalés n'a aucun relation avec le cercle
En plus, utiliser O'G' ou bien .. n'a aucun relation avec (BC)

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Pour te prouver la fausseté:
(OG) coupe (BC) en K.
Et (O'G') coupe (BC) en K'.
On a OK#2OG.
Et O'K'#2O'G'.
Amicalement.

Thalés n'a aucun relation avec le cercle

Si, car: MG'/MG=O'K'/OK.
Et on ne peut pas passer à ce que tu as dis.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Pour te prouver la fausseté:
(OG) coupe (BC) en K.
Et (O'G') coupe (BC) en K'.
On a OK#2OG.
Et O'K'#2O'G'.
Amicalement.

Thalés n'a aucun relation avec le cercle

Si, car: MG'/MG=O'K'/OK.
Et on ne peut pas passer à ce que tu as dis.

Regrde mon dérnier poste, la figure que j'ai fais dans la démonstration ce n'est qu'un approchement de l'idée, remarquez que je n'est pas utiliser le point B dans thalés, méme la droite (BC). Ca veut dire que j'ai utilisé les diamétres des deux cercles.