rayons ,côtés et angles

bonjour

je vous propose ceci:

ABC est un triangle

a=BC , b=AC , c=AB

r= rayon du cercle inscrit , R = rayon du cercle circonscrit

question: montrer que : r / R = (a.cosA + b.cosB + c.cosC) / (a+b+c)

c'est pas trop difficile !

bonjour Houssa ....

Bon voila c tt ce que j ai trouve ..

Pour Le cercle Inscrit

S=p.r .... S= [ a+b+c ] /2 . r .... r = 2 S / [ a+b+c ]

pour le Cronscrit ...

S = abc / 4 R .... R = abc / 4 S ..

Puis On a

abc/2S = a/SinA = b/SinB = c/SinC = 2R


Et on a aussi .. la relation entre les Sinus et les Cosinus
j ai deja vu dans Un Livre ..

Cos A + Cos B + Cos C = 1 + 4 [ SinA/2 + SinB/2 + SinC/2 ]

Bon je vois Qu il Faudrait Juste Appliquer ces relations

ce qui donne Ton resultat


Sauuf si j ai Fais chi betise

salut

c'est parfait

l'dée principale etait d'exprimer l'aire du triangle de deux façons

Re Bonsoirr ...


Je connais Un Gars .. qui a Une technique [ je sais pas d ou il a eu ] Pour Calculer les aires du Triangle quelconque ... et ce qui m a Surpris .. qu elle est trees Simple et Comme on dis [ Passe Par tout LoL =] .. et tant que je le reverai .. je vais la Poster au forum Inchalah.. Je sais Pas si tu le connais ou pas .. Tout ce que je me souviens c qu il y avait des Racines

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron

salut

c'est vrai qu'il y a des formules mais c'est plus simple
-----------------------
je note : O le centre du cecle ciconscrit , H sa proj. sur [BC]

l'angle BOH(moitié de BOC) = BAC

aire(OBC) = 1/2.BC.OH =1/2.a.R.cosA

de meme pour les autres: OAB et OAC

donc : aire (ABC) = 1/2.R(a.cosA+b.cosB+c.cosC)
----------------------------------------------------
je note M le centre du cercle inscrit , K sa proj sur [BC]

aire(MBC) = 1/2.BC.MK = 1/2.a.r

de meme pour MAC et MAB

aire(ABC) = 1/2.r(a+b+c)
---------------------------------------------------------

Egaliser les 2 résultats ====> CQFD

Saluut ...


Oui Mhdi .. c est cela que je Voulez .. alors ca s appelle La formule de Heron .... Mercii bien .

houssa a écrit:

salut

c'est vrai qu'il y a des formules mais c'est plus simple
-----------------------
je note : O le centre du cecle ciconscrit , H sa proj. sur [BC]

l'angle BOH(moitié de BOC) = BAC

aire(OBC) = 1/2.BC.OH =1/2.a.R.cosA

de meme pour les autres: OAB et OAC

donc : aire (ABC) = 1/2.R(a.cosA+b.cosB+c.cosC)
----------------------------------------------------
je note M le centre du cercle inscrit , K sa proj sur [BC]

aire(MBC) = 1/2.BC.MK = 1/2.a.r

de meme pour MAC et MAB

aire(ABC) = 1/2.r(a+b+c)
---------------------------------------------------------

Egaliser les 2 résultats ====> CQFD

svp vous pouvez detailler plus l'expression en ronge:
est ce que ça veut dire que : OH=R.cos (je ne sais pas comment la trouver)