Conan
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 | | Sujet: a,b,c cotés de triangles Sam 06 Oct 2007, 14:01 | |
| soit a,b,c les trois cotés d'un triangle . Montrer que :
a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) =< 3abc | |
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ThSQ
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| | Sujet: Re: a,b,c cotés de triangles Sam 06 Oct 2007, 14:47 | |
| En force brute (très laid mais ça marche) ...
Sum a²(b+c-a) = Prod (b+c-a) + 2abc
Reste à montrer que :
Prod (b+c-a) <= abc
0<= a²-(b-c)² = (a-b+c)(a+b-c) <= a²
reste à tout multiplier.
2qualité quand a=b=c | |
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Conan
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| | Sujet: Re: a,b,c cotés de triangles Sam 06 Oct 2007, 15:01 | |
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stof065
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| | Sujet: Re: a,b,c cotés de triangles Sam 06 Oct 2007, 15:23 | |
| posé a=(x+y)/2 b=(y+z)/2 et c=(z+x)/2
l inégalité equivalent a
3xyz<=1/2(xy(x+z)+yz(z+y)+zx(x+z)) ce qui est vrai avec iAG
(aussi (x+y)(y+z)(z+x)>=8xyz))
a+ | |
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ali 20/20
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| | Sujet: Re: a,b,c cotés de triangles Sam 06 Oct 2007, 16:09 | |
| - Conan a écrit:
- soit a,b,c les trois cotés d'un triangle . Montrer que :
a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) =< 3abc a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) -3abc=a(ab+ac-a^2-bc)+b(bc+ba-b^2-ac)+c(ac+c^2-ac)=-(a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b))selon shur on a a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)>0 donc a^2(b + c - a) + b^2(c + a - b) + c^2(a + b - c) -3abc=<0conclure | |
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| | Sujet: Re: a,b,c cotés de triangles | |
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